Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Salve, mi servirebbe aiuto con questo esercizio:
"Determinare l'equazione della conica tangente alla retta x-y-1=0 in (2,1) e passante per i punti P1(-1,0), P2(0,3) e P3(0,-3)".
Grazie in anticipo!
Sia \(\Sigma_X\) una matrice reale, simmetrica e definita positiva. Considerando per semplicità il caso \(\Sigma_X\in\mathbb{R}^2\), se ho capito bene, tale matrice può essere espressa mediante la fattorizzazione
\[\Sigma_X=V\Lambda V^\text{T}\]
dove \(V:=\begin{bmatrix}v_1 & v_2\end{bmatrix}\) con \(v_1,v_2\) autovettori colonna di \(\Sigma_X\) (ortonormali tra loro) e \(\Lambda:=\text{diag}(\lambda_1, \lambda_2)\) con \(\lambda_1,\lambda_2\) autovalori di \(\Sigma_X\) (positivi).
Più ...
Buon pomeriggio!
Ho sempre problemi a risolvere esercizi dove bisogna applicare la formula di Grassman, ad esempio:
Sia $v$ sottospazio di $RR^3$ esiste un sottospazio $W$ tale che $dim(W+V) = dim(W)$?
La risposta è si se $V=W$ ma non capisco come mai, provo a immaginare $V$ e $W$ come span di vettori (uguali fra loro) di dimensione 3 ma non so dire la dimensione della loro somma. L'intersezione, essendo composta dai ...
Considera la forma quadratica dipendente da parametro
$ Q(x,y,z,alpha)=x^2+z^2+2alphaxy+2xz $
a) Per ogni parametro $alpha in R$ scrivere la matrice simmetrica associata $A(alpha)$ e studiare il segno di $Q$.
b) Per $alpha=0$ determina una matrice diagonalizzante ortogonale e ridurre $Q(x,y,z,0)$ in forma canonica mediante cambio di base.
Qualcuno può aiutarmi con questo esercizio? Almeno per impostarlo e iniziare a ragionarvi sopra...non so proprio dove mettere le mani
Salve raga, mi sapreste dire come si svolge questo tipo di applicazione lineare? Riesco a farle quasi tutte ma di questo tipo non riesco a capire cosa dovrei fare.
1)Sia
$ F: R(3)rarr R(3) $ l'endomorfismo definito da
F((a,b,c))=(3a-c, -a+2b, 2a+c)
Stabilire se F è diagonalizzabile. Determinare due basi distinte di R(3) contenenti un autovettore di F.
2)E' possibile definire un'applicazione lineare
$ G:R(3)rarr R(3) $
Tale chè :
$ G(((2,1,1)))= F(((2,-1,1))) $ e
$ G(((-1,0,1)))= (1,-4/5,1) $
Se G esiste è unica? ...
Scusate il disturbo, ma non riesco a svolgere questo tipo di applicazione lineare.
Stabilire se un'applicazione lineare $ F:R(4) rarr R(2)[x] $ tale che
F((1,1,0,2))= x-1 ; F((4,2,1,2))= 1-x-x^2 ; F((3,1,0,0))= 2+2x^2 ; F((-1,-1,-1,-2))=1-x+x^2
è lineare?
Definire un'applicazione lineare
$ G: R(4) rarr M2 (R) $ tale che
$ G(((3,1,0,0)))=G(((4,2,1,2)))=G(((1,1,0,2))) $
È possibile che dim Ker G =3? Può essere dim ImG =3?
La prima parte riesco a svolgerla, non so come procedere nella seconda. Mi potreste spiegare come si ...
ciao a tutti vi propongo il seguente quesito:
Siano V, W due spazi vettoriali della stessa dimensione n. Sia T : V → W un endomorfismo:
a) se T è iniettivo allora per ogni w∈W esiste un unico v∈V tale cheT(v)=w
b)se la collezione di vettori (v1,.....,vk) sono linearmente indipendenti allora {T(v1),.....,T(vk)} è linearmente indipendente(c)
c)Se il nucleo di T ha dimensione 0, esistono una base di V e una base di W tale che la matrice
associata a T in tali basi è la matrice identica.
d) Se ...
Ragazzi non so proprio da dove iniziare...
Nello spazio vettoriale V su R con base ordinata B = (e1; e2; e3; e4), si determini:
(i) un insieme di due vettori che sia linearmente indipendente;
(ii) una base che contenga i vettori u = 2e1 - e2 e v = e3 + 2e4.
Per favore potete aiutarmi a capire perchè sbaglio sempre questi esercizi?
Date le due rette r e s:
$r= x-y-z-1=0$,$ 2x-3y-z-2=0$
$s= x-2y+1=0$, $x-y-z+1=0$
Trovo il fascio di piani dato dalla retta r: $lambda( x-y-z-1) + mu(2x-3y-z-2) =0$
Trovo un punto appartenente ad s e che quindi soddisfi entrambe le equazioni come $P(-1,0,0)$
Risolvo:
$lambda( -1-1) + mu(-2-2) =0$
ho $lambda=-2mu$
se pongo mu=1
$-2( x-y-z-1) +2x-3y-z-2=0$ cioè $-x-5y-z-1=0$ mentre il risultato giusto è $y=z$.
Qualcuno ...
Premetto che non so se sia o meno la sezione giusta,mi dispiace se ho sbagliato.
Salve,ultimamente,stavo cercando di generalizzare un tipo particolare di numeri,a un insiemi infinito-dimensionale.Mentre ci provavo però mi sono imbattuto in qualche difficoltà.Se non vi dispiace,potreste aiutarmi,il concetto che volevo generalizzare era quello di numero iper-complesso.
Quindi sono partito da questa formula(che vale nel caso tetradimensionale)
\( q=a+bi+cj+dk=a+v=||q||e^{\frac{v}{||v|}\theta} \) ...
ciao a tutti vi propongo il quesito è il seguente:
Siano V, W due spazi vettoriali della stessa dimensione n. Sia T : V → W un endomorfismo:
(a) SeT `einiettivoalloraperogniw∈W esisteununicov∈V talecheT(v)=w.
(b) Se la collezione di vettori{v1,...,vk} (vi ∈V) è linearmente indipendenti,allora
{T(v1),...,T(vk)} `e linearmente indipendenti.
(c) Se il nucleo di T ha dimensione 0, esistono una base di V e una base di W tale che la matrice
associata a T in tali basi è la matrice identica.
(d) Se ...
ciao ha tutti vorrei avere un chiarimento
allora se ho due spazi vettoriali della stessa dimensione ed ho un endomorfismo se so che l'applicazione è iniettiva allora essendo i due spazi della stessa dimensione è anche suriettiva e quindi l'endomorfismo e biunivoco?
Da qualche giorno sto tentando di risolvere questo esercizio sulle matrici associate ad applicazioni lineari, ma non ci riesco. La domanda è:
Determina la matrice A(z) associata ad F(z) nella base standard in arrivo e in partenza con $F(z) : R^3 ---> R^3$
$((1),(-1),(1))$=$((z^2+1),(-3/2 z^2+5/4),(-3/2z^2-2))$
$((2),(0),(1))$=$((2 z^2),(1/2 - z^2/2),(z^2))$
$((0),(2),(-2))$=$((4),(z^2-2),(-z^2-4))$
Stabilisci poi per quali valori del parametro z reale la matrice A(z) è diagonalizzabile.
Grazie,
Salve cari, avrei un problema con un esercizio di algebra lineare, in particolare con il seguente problema:
Sia \(\displaystyle F: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) l'endomorfismo con matrice associata rispetto alla base canonica
\begin{pmatrix}
4& 0 & 3\\
0& 3 &0 \\
-1 & 7 & 1
\end{pmatrix}
1) Stabilire se F è diagonalizzabile. Determinare due basi distinte di R^3 contenenti due autovettori di F.
2) E' possibile definire un'applicazione lineare \(\displaystyle G: \mathbb{R}^3 ...
Ho provato a risolvere questo esercizietto di topologia, ma, ammesso che la mia strategia sia corretta, mi blocco nella dimostrazione.
Sia $Y$ un sottospazio topologico di $X$ e sia $A \subset Y$. Dimostrare che $ Cl_Y(A) \subset Cl_X(A)$
Dim.:
Sia $sigma_Y$ la famiglia dei chiusi di $Y$ con la topologia indotta.
Suppongo per assurdo che $ Cl_X(A) \subset Cl_Y(A)$. Allora si ha $nnn_i C_i \subset nnn_i D_i$, con $C_i \in \sigma_X, A \subset C_i$ e ...
Ho il seguente esercizio, e mi trovo ancora in difficoltà con le caratterizzazioni di chiusi e aperti.
Esercizio
Considerando l'insieme $X=RR^2$ con la topologia generata dalla base $\mathbb{B}={(x_0-\epsilon,x_0] xx (y_0-\epsilon, y_0], \epsilon >0}$ che chiamo $\tau(\mathbb{B})$.
Dire per ciascuno dei seguenti insiemi se sono aperti, chiusi e determinarne chiusura e interno.
$A_1={[0,1]xxR}$
$A_2={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2<1}$
Sol.:
1)
In pratica lo spazio topologico è generato dai quadrati che hanno il lato superiore ...
Salve ragazzi, è il mio primo messaggio e volevo anzitutto complimentarmi per questo splendido forum.
Ho bisogno di un chiarimento, io e il libro siamo arrivati a due risultati diversi...
L'esercizio chiede di stabilire: per quali valori di h reale il vettore v=(1-h,h,1) appartiene al sottospazio generato da v1=(0,1,h) e v2=(h-1,2-h,1)
Io ho operato così: ho scritto il vettore v come c.l. degli altri due, cosi pongo che v si trovi nella loro copertura lineare:
$ (1-h,h,1)=a(0,1,h)+b(h-1,2-h,1) $
ottenendo ...
Ciao a tutti,
ho iniziato a studiare topologia generale e un primo esercizio è questo:
$X=RR$, $\tau={A \subset X: \forall x \in A EE [x,y) \in A}$.
Determinare interno e chiusura di:
(i) $(a,b)$
(ii) $[a,b]$
(iii) $[a,b)$
(iv) $(a,b]$
Da quello che ho notato iniziando devo cercare di capire come sono fatti gli aperti e questi mi sembrano intervalli dove è escluso l'estremo destro $y$, che mi sembra sia quindi fissato.
Pertanto i ...
Buongiorno a tutti,
ho questo problema da risolvere, dati
$alpha: x+3y$
$beta: 3x-3y -2z$
$lambda: 4x + hz$
Ho trovato la matrice associata e calcolato il rango, per h=-2 i tre piani si intersecano in infiniti punti (retta in comune), per h diverso da -2 in un punto solo, dato che ho $oo^(3-2)$ oppure $oo^(3-3)$
Come calcolo però l'equazione della retta comune e il punto?
Grazie
Buonasera,
Stavo svolgendo l'esercizio seguente:
sia H il sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) generato da {v1, v2, v3} con:
v1 = (-1,1,-1,2)
v2 = (3,-1,1,8)
v3 = (2,-1,1,3)
l'esercizio chiede: dato Q spazio dei vettori ortogonali a H di calcolare la dimensione di Q.
Per svolgere l'esercizio ho calcolato base e dimensione dello spazio H con l'eliminazione gaussiana, trovando dimensione 2 e che i 3 vettori sono effettivamente una base di H.
Ora, la mia idea era di applicare la ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo