Definizione matrice di cambiamento di base
Salve,
di recente mi sono reso conto che diverse fonti danno definizioni diverse della matrice di cambiamento di base. La definizione di matrice di cambiamento di base (o coordinate) a cui sono abituato è la seguente:
Date due basi $E, F$ dello stesso spazio vettoriale, la matrice di cambiamento dalla base $E$ alla base $F$ è la matrice (unica) che, moltiplicata per il vettore colonna delle componenti di un vettore rispetto alla base di partenza $E$, restituisce il vettore colonna contenente le componenti del vettore rispetto alla base di arrivo $F$. Ovvero:
$[x]_F = P_{E,F} \ [x]_E$
Però mi sono imbattuto in un'altra definizione:
Date due basi $E, F$ dello stesso spazio vettoriale, le matrici $A, B$ sono le matrici aventi come vettori colonna rispettivamente i vettori della base $E$ e della base $F$. La matrice di cambiamento dalla base $E$ alla base $F$ è la matrice (unica) tale che:
$A \ P_{E,F} = B$
Ovvero
$[x]_E = P_{E,F} \ [x]_F$
Ovvero l'inversa della matrice definita nella prima definizione! Quale delle due definizioni è quella più corretta (o usata)?
Grazie infinite!
di recente mi sono reso conto che diverse fonti danno definizioni diverse della matrice di cambiamento di base. La definizione di matrice di cambiamento di base (o coordinate) a cui sono abituato è la seguente:
Date due basi $E, F$ dello stesso spazio vettoriale, la matrice di cambiamento dalla base $E$ alla base $F$ è la matrice (unica) che, moltiplicata per il vettore colonna delle componenti di un vettore rispetto alla base di partenza $E$, restituisce il vettore colonna contenente le componenti del vettore rispetto alla base di arrivo $F$. Ovvero:
$[x]_F = P_{E,F} \ [x]_E$
Però mi sono imbattuto in un'altra definizione:
Date due basi $E, F$ dello stesso spazio vettoriale, le matrici $A, B$ sono le matrici aventi come vettori colonna rispettivamente i vettori della base $E$ e della base $F$. La matrice di cambiamento dalla base $E$ alla base $F$ è la matrice (unica) tale che:
$A \ P_{E,F} = B$
Ovvero
$[x]_E = P_{E,F} \ [x]_F$
Ovvero l'inversa della matrice definita nella prima definizione! Quale delle due definizioni è quella più corretta (o usata)?
Grazie infinite!
Risposte
la prima perchè si può applicare anche a matrici singolari, la seconda invece presuppone che la tua mappa sia anche invertibile.
Tuttavia, quando c'è da fare un cambiamento di coordinate la matrice è non singolare, quindi nel tuo caso (ma solo in questo) sono esattamente equivalenti.
Tuttavia, quando c'è da fare un cambiamento di coordinate la matrice è non singolare, quindi nel tuo caso (ma solo in questo) sono esattamente equivalenti.
ciao,
in che senso la prima definizione si può applicare a matrici singolari? Di quali matrici stai parlando?
in che senso la prima definizione si può applicare a matrici singolari? Di quali matrici stai parlando?
a funzioni lineari che ammettono una inversa, ossia a matrici quadrate con determinante non nullo. La seconda definizione presuppone che la matrice sia invertibile e, nel caso di un cambiamento di coordinate ciò è sempre vero (i cambiamenti di coordinate lineari sono gli automorfismi lineari) ma nel caso di una generica funzione lineare, la matrice che la descrive può avere determinante nullo, non essendo quindi un isomorfismo del tuo spazio in se stesso, come sono di regola i cambiamenti di coordinate.
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