Base per $RR^3$ formata da autovettori di una applicazione lineare
Salve,
ho un quesito che non riesco a risolvere:
Sia $V = {(x,y,z) in RR^3 | x+y-z=0, x-y+z=0} $e sia $f: RR^3 \rightarrow RR^3$ l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio $V$ e tale che $\lambda = 2$ è autovalore con autospazio generato dai vettori $(1,1,1)$ e $(1,1,2)$.
Scegliere una base $\beta$ per $RR^3$ formata da autovettori di $f$ e scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $\beta$.
Sinceramente non saprei da dove iniziare. Vi espongo i miei dubbi.
Ho due autovettori. il terzo autovettore come posso calcolarlo se no ho la matrice associata all'applicazione lineare?
Cosa si intende la matrice assocciata ad $f$ rispetto alla base $\beta$? si intende la matrice degli autovalori?
grazie in anticipo.
ho un quesito che non riesco a risolvere:
Sia $V = {(x,y,z) in RR^3 | x+y-z=0, x-y+z=0} $e sia $f: RR^3 \rightarrow RR^3$ l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio $V$ e tale che $\lambda = 2$ è autovalore con autospazio generato dai vettori $(1,1,1)$ e $(1,1,2)$.
Scegliere una base $\beta$ per $RR^3$ formata da autovettori di $f$ e scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $\beta$.
Sinceramente non saprei da dove iniziare. Vi espongo i miei dubbi.
Ho due autovettori. il terzo autovettore come posso calcolarlo se no ho la matrice associata all'applicazione lineare?
Cosa si intende la matrice assocciata ad $f$ rispetto alla base $\beta$? si intende la matrice degli autovalori?
grazie in anticipo.
Risposte
io la penserei così:
$ker f = V = <(0,1,1)>$ quindi $f(0,1,1)=(0,0,0)$ e inoltre dalla definizione di autovettore sai che $f(1,1,1)=(2,2,2)$ e che $f(1,1,2)=(2,2,4)$
a questo punto scriverei la matrice rappresentativa rispetto per esempio alla base canonica e trovo l'ultimo autovalore/autovettore.
la interpreto anche io come la matrice diagonale. infatti la matrice diagonale dovrebbe essere per definizione l'endomorfismo scritta rispetto alla base di autovettori.
$ker f = V = <(0,1,1)>$ quindi $f(0,1,1)=(0,0,0)$ e inoltre dalla definizione di autovettore sai che $f(1,1,1)=(2,2,2)$ e che $f(1,1,2)=(2,2,4)$
a questo punto scriverei la matrice rappresentativa rispetto per esempio alla base canonica e trovo l'ultimo autovalore/autovettore.
"yonko":
Cosa si intende la matrice assocciata ad f rispetto alla base β? si intende la matrice degli autovalori?
la interpreto anche io come la matrice diagonale. infatti la matrice diagonale dovrebbe essere per definizione l'endomorfismo scritta rispetto alla base di autovettori.
Intendi dire che dovrei risolvere il sistema a nove incognite ricavate dalla moltiplicazione della matrice per i vari vettori?
Se intendevi un procedimento più veloce, non l'ho inteso.
Edit: o il solo fatto di essere indipendente dagli altri autovettori, mi garantisce che sia un autovettore anch'esso?
Però sinceramente no vedo nessuna correlazione tra nucleo e autovettore. Mi sembra di andare un po' a tentoni, e non sarei in grado di ripeterlo in un altro esercizio. Puoi aiutarmi in tal senso?
Se intendevi un procedimento più veloce, non l'ho inteso.
Edit: o il solo fatto di essere indipendente dagli altri autovettori, mi garantisce che sia un autovettore anch'esso?
Però sinceramente no vedo nessuna correlazione tra nucleo e autovettore. Mi sembra di andare un po' a tentoni, e non sarei in grado di ripeterlo in un altro esercizio. Puoi aiutarmi in tal senso?
intendevo proprio risolvere i tre sistemi $ a (1,1,1) + b (0,1,1)+c(1,1,2)=e_i$ per $i=1,2,3$. E poi prender e le immagini.
Per un sistema più veloce non saprei. Mi è venuto in mente solo questo metodo
Per un sistema più veloce non saprei. Mi è venuto in mente solo questo metodo
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