Tensori
Buon giorno a tutti.
Ho letto che la rotazione di un tensore cartesiano del secondo ordine $T_{ij}$ da come risultato un tensore $T_{ij}^I$= $R_{ia}$$R_{jb}$ $T_{ab}$.
Da quel poco che ho capito, $R_{ia}$, $R_{jb}$ sono due matrici 3*3, non mi è chiaro se anche $T_{ij}$ sia una matrice 3*3 e se in pratica $T_{ij}^I$ sia dunque il prodotto di tre matrici.
Un esempio di tensore del secondo ordine viene costruito mediante "prodotto tensoriale" di due vettori $\vec V$ e $\vec S$ in $R^3$.
Una rotazione da luogo al tensore $T_{ij}^I$ = $\vec V$ * $\vec S$ = $R_{ia}$ $R_{jb}$ $T_{ab}$.
In questo caso $R_{ia}$ è la matrice dei coseni direttori del vettore $\vec V$, $R_{jb}$ la matrice dei coseni direttori del vettore $\vec S$ e $T_{ij}$ la matrice delle componenti dei due vettori moltiplicate tra loro ?
Ci ho capito veramente poco in questa moltitudine di indici e sicuramente avrò scritto parecchie caz..te.
grazie a tutti
Ho letto che la rotazione di un tensore cartesiano del secondo ordine $T_{ij}$ da come risultato un tensore $T_{ij}^I$= $R_{ia}$$R_{jb}$ $T_{ab}$.
Da quel poco che ho capito, $R_{ia}$, $R_{jb}$ sono due matrici 3*3, non mi è chiaro se anche $T_{ij}$ sia una matrice 3*3 e se in pratica $T_{ij}^I$ sia dunque il prodotto di tre matrici.
Un esempio di tensore del secondo ordine viene costruito mediante "prodotto tensoriale" di due vettori $\vec V$ e $\vec S$ in $R^3$.
Una rotazione da luogo al tensore $T_{ij}^I$ = $\vec V$ * $\vec S$ = $R_{ia}$ $R_{jb}$ $T_{ab}$.
In questo caso $R_{ia}$ è la matrice dei coseni direttori del vettore $\vec V$, $R_{jb}$ la matrice dei coseni direttori del vettore $\vec S$ e $T_{ij}$ la matrice delle componenti dei due vettori moltiplicate tra loro ?
Ci ho capito veramente poco in questa moltitudine di indici e sicuramente avrò scritto parecchie caz..te.
grazie a tutti
Risposte
La domanda implicita nel tuo discorso è quella di stabilire che cosa sia un tensore. Ci sono sfortunatamente parecchie definizioni non del tutto equivalenti che sono usate in fisica e matematica. In questo caso direi che possiamo pensare ad un tensore come ad una funzione bilineare. Fissata una base, abbiamo che un tensore \(T\) sarà quindi definito come segue (facendo uso della notazione di Einstein):
\[ T(\mathbf v, \mathbf w) = T_{ij}\,v^i\,w^j \]
Un tensore è quindi definito da una \(n^2\) coefficienti e due indici e possiamo quindi interpretarlo come una matrice \(n \times n\). In effetti possiamo anche usare una notazione matriciale (che personalmente preferisco in casi come questo):
\[ T(\mathbf v, \mathbf w) = \mathbf v^t\,T\,\mathbf w. \]
Il problema a questo punto è quello di stabilire come i coefficienti di questo tensore cambino al variare del sistema di coordinate, per esempio per una rotazione \(R\). In generale, se \(v_R^i\) e \(w_R^j\) sono i coefficienti dei due vettori precedenti nella nuova base, allora vogliamo che valga \( T_{ij}\,v^i\,w^j = T^R_{ij}\,v_R^i\,w_R^j. \) Siccome \(v_R^i = R^i{}_s\,v^s\) e \(w_R^j = R^j{}_t\,w^t,\) abbiamo che \( T^R_{ij}\,v_R^i\,w_R^j = T^R_{ij}\,R^i{}_s\,R^j{}_t\,v^s\,w^t. \) Confrontando questa espressione con la prima, notiamo quindi che deve valere \( T_{st} = T^R_{ij}\,R^i{}_s\,R^j{}_t. \) Cambiando i ruoli dei coefficienti notiamo che deve valere \( T^R_{ij} = R_i{}^s\,R_j{}^t\,T_{st} \) (ho riordinato i valori come nel tuo testo). Nota che i coefficienti \(R_i{}^s\) sono i coefficienti di \(R^t\) (cioè la rotazione opposta a quella che ho preso in considerazione). Quest'ultima osservazione non è granché importante se stiamo in realtà pensando di trasformare il tensore con una rotazione \(R,\) per cui possiamo usare direttamente la matrice \(R\) come nella tua definizione.
Nella tua definizione hai quindi una singola matrice \(R,\) ma la somma è fatta sugli indici ripetuti e NON è il prodotto matriciale. In effetti, facendo gli stessi calcoli in forma matriciale abbiamo la seguente:
\[ \mathbf{v}^t\,T\,\mathbf{w} = \mathbf{v}^t\,R^t\,T^R\,R\,\mathbf{w}. \]
Siccome deve valere per ogni coppia di vettori deve quindi essere
\[ T = R^t\,T^R\,R \implies T^R = R\,T\,R^t. \]
\[ T(\mathbf v, \mathbf w) = T_{ij}\,v^i\,w^j \]
Un tensore è quindi definito da una \(n^2\) coefficienti e due indici e possiamo quindi interpretarlo come una matrice \(n \times n\). In effetti possiamo anche usare una notazione matriciale (che personalmente preferisco in casi come questo):
\[ T(\mathbf v, \mathbf w) = \mathbf v^t\,T\,\mathbf w. \]
Il problema a questo punto è quello di stabilire come i coefficienti di questo tensore cambino al variare del sistema di coordinate, per esempio per una rotazione \(R\). In generale, se \(v_R^i\) e \(w_R^j\) sono i coefficienti dei due vettori precedenti nella nuova base, allora vogliamo che valga \( T_{ij}\,v^i\,w^j = T^R_{ij}\,v_R^i\,w_R^j. \) Siccome \(v_R^i = R^i{}_s\,v^s\) e \(w_R^j = R^j{}_t\,w^t,\) abbiamo che \( T^R_{ij}\,v_R^i\,w_R^j = T^R_{ij}\,R^i{}_s\,R^j{}_t\,v^s\,w^t. \) Confrontando questa espressione con la prima, notiamo quindi che deve valere \( T_{st} = T^R_{ij}\,R^i{}_s\,R^j{}_t. \) Cambiando i ruoli dei coefficienti notiamo che deve valere \( T^R_{ij} = R_i{}^s\,R_j{}^t\,T_{st} \) (ho riordinato i valori come nel tuo testo). Nota che i coefficienti \(R_i{}^s\) sono i coefficienti di \(R^t\) (cioè la rotazione opposta a quella che ho preso in considerazione). Quest'ultima osservazione non è granché importante se stiamo in realtà pensando di trasformare il tensore con una rotazione \(R,\) per cui possiamo usare direttamente la matrice \(R\) come nella tua definizione.
Nella tua definizione hai quindi una singola matrice \(R,\) ma la somma è fatta sugli indici ripetuti e NON è il prodotto matriciale. In effetti, facendo gli stessi calcoli in forma matriciale abbiamo la seguente:
\[ \mathbf{v}^t\,T\,\mathbf{w} = \mathbf{v}^t\,R^t\,T^R\,R\,\mathbf{w}. \]
Siccome deve valere per ogni coppia di vettori deve quindi essere
\[ T = R^t\,T^R\,R \implies T^R = R\,T\,R^t. \]
grazie mille !
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