Geometria e Algebra Lineare

Siano date in $V = RR^3$ la base canonica $E = {e_1 , e_2 , e_3}$ e la base $B = {b_1 = e_1 + e_2 , b_2 = e_2 + e_3 , b_3 = e_1}$. Siano inoltre dati: - il funzionale $f : V → RR$ che nelle basi B di V e 1 di $RR$ si rappresenta tramite la matrice $A=(1, −1, 0)$; - l’operatore F : V → V che nella base B (in partenza e in arrivo) si rappresenta tramite la matrice $ M=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ Determinare: 1. la matrice rappresentativa di f nelle basi E di V e 1 di $RR$; 2. la matrice ...

Buonasera. C'è una tipologia di esercizi di algebra che ancora non comprendo bene: discutere esistenza e unicità di applicazioni lineari. Da quanto ho capito, in primo luogo considero le preimmagini. Se esse formano una base del dominio, allora esistenza e unicità sono garantite, quindi mi basta controllare l'indipendenza lineare. Altrimenti, devo considerare le immagini: se trovo dei vettori linearmente dipendenti devo verificare che essi sono dati dalle immagini dei vettori linearmente ...

Salve a tutti! Propongo questo esercizio su cui ho dei dubbi. "Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,CC)$ due matrici tali che $AB=BA$. Dimostrare le seguenti affermazioni: 1)A,B diagonalizzabili $=>$ A+B diagonalizzabile 2)A,B nilpotenti $=>$ A+B nilpotente 3) Esistono $C,N in M(n,CC)$, $C$ diagonalizzabile, N nilpotente, tali che CN=NC e A=C+N Ho fatto il primo punto che non è sembrato molto complicato. Per il secondo avevo pensato ...

Ciao a tutti, ho un nuovo problema. In breve, questa volta siamo in$V=RR_2[x]$, abbiamo $U=<x^2-x, 1+x>$ e $W={finL(v) | U sub Ker(f)}$. Ho dimostrato che $W$ è un sottospazio di $L(V)$, ma non riesco a calcolarne la dimensione. Inoltre, il terzo punto mi dà un'applicazione $h$ tale che $h(p)=p-xp'+1/2x^2p''$ e mi chiede di stabilire se appartiene al sottospazio. Quindi, in teoria dovrei semplicemente scrivere la matrice rappresentativa di questa applicazione, e ...

Se posso, posterei anche un altro esercizio in cui mi blocco a metà strada: Siano dati i due sottospazi vettoriali di RR^4 $V = {x ∈ RR^4 |x + y + z + t = 0};$ $W = span[[1],[2],[3],[4]]$ Dire se gli insiemi $E = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) ⊆ W}$ e $E' = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) = W}$ sono sottospazi vettoriali di $End(RR^4)$ e in caso affermativo determinarne la dimensione. Allora, prima di tutto cerco di capire come sono fatti questi due insiemi. Il generico vettore di V è $[[x],[y],[z],[-x-y-z]]$, dunque una base $ℬ_V=[[1],[0],[0],[-1]], [[0],[1],[0],[-1]], [[0],[0],[1],[-1]]$ Una ...

Di nuovo ciao. Chiedo scusa per i molti post ma ho molti dubbi e l'esame si avvicina Stavolta l'esercizio è il seguente: Sia data l'applicazione $varphi_(h, k) : RR^2 xx RR^2 rarr RR$ tale che $varphi_(h, y)(x, y) = (2 − h)x_1y_1 + kx_1y_2 − k^3x_2y_1 + (4 − h_2)x_2y_2$ a) Determinare per quali h e k $varphi_(h, k)$ definisce un prodotto scalare definito positivo. b) Per h = 1, trovare l'aggiunto dell'endomorfismo di $RR^2$ $f(z, t) = ((-t), (2z+3t))$ rispetto al prodotto scalare definito in precedenza. Allora, io procedo verificando le proprietà della forma. ...

Salve a tutti, ho un semplice dubbio da proporvi e mi scuso anticipatamente per disturbarvi per così poco . Nel caso io abbia 4 vettori in R^4 e debba dimostrare che questi siano una base di R^4 volevo sapere se è sufficiente associarli ad una base ed effettuare la riduzione a scalini. Spiegandomi meglio: se riesco a portare la matrice composta dai 4 vettori di partenza in una forma "a scalini" ho dimostrato che essi formano una base di R^4? P.S: So bene che la definizione di base afferma che ...

Salve ragazzi, avrei un problema per quanto riguarda un esercizio sulle applicazioni lineari. Mi dice di esibire un'applicazione lineare f di R^2 in R^2 con (2,1) appartenente al ker f e (1,3) appartenente all immagine di f. Il problema è che di solito io faccio l'inverso e cioè mi devo trovare il ker e l' immagine e quindi non so come procedere. Spero che voi possiate aiutarmi Grazie mille

Ciao a tutti! Mi sono imbattuto in questa dimostrazione e ho un dubbio che mi attanaglia. Ho dimostrato così che se una matrice conserva la norma, allora è ortogonale (considerato il prodotto scalare standard). Una matrice conserva la norma se $ <Au,Au> = <u,u> $. Preso $ u=v-w $, la formula precedente diventa $ <A(v-w),A(v-w)> = <v-w,v-w> $. Sviluppando si ottiene: $ -2<Av,Aw> = -2<v,w> $ che, eliminando $ -2 $ da entrambe le parti, dà proprio la definizione di matrice ortogonale. Cercando di ...

Spero in un aiuto da parte vostra perché né sui libri né su internet riesco a trovare un problema uguale al mio e non so proprio come risolverlo! La domanda è e cito: Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2. Trovare la dimensione di V e una base diversa dalla base canonica. Allora essendo uno spazio vettoriale di polinomi di grado al più 2 la dimensione dovrebbe essere 3 se non vado errato. Non riesco però a capire come posso trovare una base ...

Salve a tutti, ho questo esercizio di algebra lineare: Sia $phi : CC^2 rarr CC^2$ l'applicazione lineare associata alla matrice $A=[[2, 1+i],[1-i, 3]]$ nella base canonica. Determina gli autovalori e gli autospazi; trova, se esiste, una matrice unitaria U che diagonalizza A. Allora, comincio calcolandomi il polinomio caratteristico della matrice: $chi_A=det(A-lambdaI)=(2-lambda)(3-lambda)-(1+lambda)(1-i)=lambda^2-5lambda+4$ Gli autovalori sono 1 e 4, tutti distinti tra loro, quindi la matrice è diagonalizzabile. Calcolare gli autospazi a questo punto è questione ...

Ciao a tutti, ho tra le mani un paio di esercizi teorici di cui ho un abbozzo di soluzione: 1) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $KK$. Si dimostri che se $f ∈ End(V)$ è diagonalizzabile, allora per ogni intero $n ≥ 2$ l’endomorfismo $f^n$ è diagonalizzabile. E' vero che se $f ∈ End(V)$ è tale che esista $n ≥ 2$ tale che $f^n$ è diagonalizzabile, allora f è diagonalizzabile? Allora, parto considerando ...

Calcolare la misura del perimetro di un rettangolo sapendo che ha superficie di 324 cm^2 e che la sua base supera di 3 cm il doppio dell'altezza ? a. 75 b. -75 c. 39 d.78 e. 27 grazie in anticipo

Ciao ragazzi, potete dirmi come si risolve questo esercizio su mathematica? Risolvere e discutere, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare: kx+2y+2kz=1 kx+(3−k)y+3kz=1 kx−(k+1)y+2kz=2 Io avevo provato a comporre la matrice A = {{k, 2, 2 k}, {k, 3 - k, 3 k}, {k, k - 1, 2 k}}; X = {x, y, z}; B = {1, 1, 2}; Det[{{k, 2, 2 k}, {k, 3 - k, 3 k}, {k, k - 1, 2 k}}] Reduce[{k^2 - k^3 == 0}] Reduce[A.X == B, X] Ma non credo sia giusta. Potete aiutarmi?

Ciao a tutti! Ho dei problemi su questo esercizio: “ si consideri l’applicazione lineare $f : RR^3 → RR^2 $ definita da: $f((x),(y),(z))=((x+y),(x-y-z))$ Si determinino una base B si $RR^3$ e una base C di $RR^2$ tali che la matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi sia $ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ ” ho pensato di risolvere così: considero la base B formata da: $B= {v_1, v_2, v_3}={(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)}$ e la base $C={w_1, w_2}={(l,m),(n,o)}$ so poi che $f(v_1)=(a+b, a-b-c); f(v_2)=(d+e, d-e-f); f(v_3)=(g+h, g-h-i)$ ma anche che $f(v_1)=0*(l,m)+1*(n,o); f(v_2)=0*(l,m)+0*(n,o); f(v_3)=1*(l,m)+0*(n,o)$ cioè esprimo le ...

Salve ragazzi...svolgendo questo esercizio ad un certo punto mi fermo poichè non come gestire la situazione. Vi scrivo la traccia e poi vi dico come l'ho impostato: Determinare la dimensione e una base per il nucleo e per l'immagine dell'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 tale che f((x,y,z,t))=(x-z,-x+z,6y+2t). Dire se tale applicazione è iniettiva e se è suriettiva. Io innanzitutto per trovare il nucleo,ho impostato il sistema e applicato l'eliminazione di Gauss alla matrice associata. Però ...

-k1-1+k-11+kk L' esercizio chiede per quali k la matrice è diagobalizzabile; quello che però non capisco è come mai PRIMA di iniziare la discussione sul k la soluzione dá subito gli autovalori come 2,2,4. Ho provato su wolphram alpha e dà gli stessi autovalori, ma non riesco proprio a capire perché gli autovalori prescindono da k, io ho ...

Buonasera Chi sa dirmi com'è fatta la matrice P tale che $D=P^(-1)AP$? $A=((2,0,1),(-1,1,-1),(0,0,1))$ Ho calcolato gli autovalori ovvero $lambda=2$ e $lambda=1$ con molteplicità algebrica rispettivamente 1 e 2. Le rispettive basi dei rispettivi autovettori sono: $lambda=2$ $to$ $(1,-1,0)$ $lambda=1$ $to$ $(0,1,0)$ e $(-1,0,1)$ Ho verificato che è diagonalizzabile perciò posso trovare D e P. $D=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$ è ...

Salve a tutti! Vorrei una delucidazione su questo tipo di problema sulla matrice associata a un'applicazione lineare in un riferimento. Considerato il riferimento di R3 $R = (e1 = (1; 1; 0); e2 = (1; 0; 1); e3 = (0; 1; 1))$ sia fk l’endomorfismo di R3 ottenuto estendendo per linearità le posizioni: $fk(e1) = e1 + e3$ $fk(e2) = ke2 + ke3$ $fk(e3) = ke1 + ke3$ (i) Scrivere la matrice A associata ad fk nel riferimento R. La mia domanda è: la matrice è quella semplicemente formata dai coefficienti della e, quindi \begin{pmatrix} 1 & ...

Ciao, il prodotto tra una matrice colonna e una matrice quadrata è commutativo? Ad esempio $ A * B $, dove $A$ = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ \end{pmatrix} e $ B = $ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix} $ A*B = B*A $ ??