Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera. C'è una tipologia di esercizi di algebra che ancora non comprendo bene: discutere esistenza e unicità di applicazioni lineari.
Da quanto ho capito, in primo luogo considero le preimmagini. Se esse formano una base del dominio, allora esistenza e unicità sono garantite, quindi mi basta controllare l'indipendenza lineare. Altrimenti, devo considerare le immagini: se trovo dei vettori linearmente dipendenti devo verificare che essi sono dati dalle immagini dei vettori linearmente ...
Salve a tutti! Propongo questo esercizio su cui ho dei dubbi.
"Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,CC)$ due matrici tali che $AB=BA$. Dimostrare le seguenti affermazioni:
1)A,B diagonalizzabili $=>$ A+B diagonalizzabile
2)A,B nilpotenti $=>$ A+B nilpotente
3) Esistono $C,N in M(n,CC)$, $C$ diagonalizzabile, N nilpotente, tali che CN=NC e A=C+N
Ho fatto il primo punto che non è sembrato molto complicato. Per il secondo avevo pensato ...
Ciao a tutti, ho un nuovo problema. In breve, questa volta siamo in$V=RR_2[x]$, abbiamo $U=<x^2-x, 1+x>$ e $W={finL(v) | U sub Ker(f)}$.
Ho dimostrato che $W$ è un sottospazio di $L(V)$, ma non riesco a calcolarne la dimensione.
Inoltre, il terzo punto mi dà un'applicazione $h$ tale che $h(p)=p-xp'+1/2x^2p''$ e mi chiede di stabilire se appartiene al sottospazio. Quindi, in teoria dovrei semplicemente scrivere la matrice rappresentativa di questa applicazione, e ...
Se posso, posterei anche un altro esercizio in cui mi blocco a metà strada:
Siano dati i due sottospazi vettoriali di RR^4
$V = {x ∈ RR^4 |x + y + z + t = 0};$ $W = span[[1],[2],[3],[4]]$
Dire se gli insiemi $E = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) ⊆ W}$ e $E' = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) = W}$ sono sottospazi vettoriali di $End(RR^4)$ e in caso affermativo determinarne la dimensione.
Allora, prima di tutto cerco di capire come sono fatti questi due insiemi.
Il generico vettore di V è $[[x],[y],[z],[-x-y-z]]$, dunque una base $ℬ_V=[[1],[0],[0],[-1]], [[0],[1],[0],[-1]], [[0],[0],[1],[-1]]$
Una ...
Di nuovo ciao. Chiedo scusa per i molti post ma ho molti dubbi e l'esame si avvicina
Stavolta l'esercizio è il seguente:
Sia data l'applicazione $varphi_(h, k) : RR^2 xx RR^2 rarr RR$ tale che
$varphi_(h, y)(x, y) = (2 − h)x_1y_1 + kx_1y_2 − k^3x_2y_1 + (4 − h_2)x_2y_2$
a) Determinare per quali h e k $varphi_(h, k)$ definisce un prodotto scalare definito positivo.
b) Per h = 1, trovare l'aggiunto dell'endomorfismo di $RR^2$ $f(z, t) = ((-t), (2z+3t))$ rispetto al prodotto scalare definito in precedenza.
Allora, io procedo verificando le proprietà della forma. ...
Salve a tutti, ho un semplice dubbio da proporvi e mi scuso anticipatamente per disturbarvi per così poco .
Nel caso io abbia 4 vettori in R^4 e debba dimostrare che questi siano una base di R^4 volevo sapere se è sufficiente associarli ad una base ed effettuare la riduzione a scalini. Spiegandomi meglio: se riesco a portare la matrice composta dai 4 vettori di partenza in una forma "a scalini" ho dimostrato che essi formano una base di R^4?
P.S: So bene che la definizione di base afferma che ...
Salve ragazzi, avrei un problema per quanto riguarda un esercizio sulle applicazioni lineari.
Mi dice di esibire un'applicazione lineare f di R^2 in R^2 con (2,1) appartenente al ker f e (1,3) appartenente all immagine di f.
Il problema è che di solito io faccio l'inverso e cioè mi devo trovare il ker e l' immagine e quindi non so come procedere.
Spero che voi possiate aiutarmi
Grazie mille
Ciao a tutti! Mi sono imbattuto in questa dimostrazione e ho un dubbio che mi attanaglia.
Ho dimostrato così che se una matrice conserva la norma, allora è ortogonale (considerato il prodotto scalare standard).
Una matrice conserva la norma se $ <Au,Au> = <u,u> $. Preso $ u=v-w $, la formula precedente diventa $ <A(v-w),A(v-w)> = <v-w,v-w> $. Sviluppando si ottiene: $ -2<Av,Aw> = -2<v,w> $ che, eliminando $ -2 $ da entrambe le parti, dà proprio la definizione di matrice ortogonale.
Cercando di ...
Spero in un aiuto da parte vostra perché né sui libri né su internet riesco a trovare un problema uguale al mio e non so proprio come risolverlo!
La domanda è e cito:
Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2.
Trovare la dimensione di V e una base diversa dalla base canonica.
Allora essendo uno spazio vettoriale di polinomi di grado al più 2 la dimensione dovrebbe essere 3 se non vado errato.
Non riesco però a capire come posso trovare una base ...
Salve a tutti, ho questo esercizio di algebra lineare:
Sia $phi : CC^2 rarr CC^2$ l'applicazione lineare associata alla matrice $A=[[2, 1+i],[1-i, 3]]$ nella base canonica. Determina gli autovalori e gli autospazi; trova, se esiste, una matrice unitaria U che diagonalizza A.
Allora, comincio calcolandomi il polinomio caratteristico della matrice:
$chi_A=det(A-lambdaI)=(2-lambda)(3-lambda)-(1+lambda)(1-i)=lambda^2-5lambda+4$
Gli autovalori sono 1 e 4, tutti distinti tra loro, quindi la matrice è diagonalizzabile. Calcolare gli autospazi a questo punto è questione ...
Ciao a tutti, ho tra le mani un paio di esercizi teorici di cui ho un abbozzo di soluzione:
1) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $KK$. Si dimostri che se $f ∈ End(V)$ è diagonalizzabile, allora per ogni intero $n ≥ 2$ l’endomorfismo $f^n$ è diagonalizzabile. E' vero che se $f ∈ End(V)$ è tale che esista $n ≥ 2$ tale che $f^n$ è diagonalizzabile, allora f è diagonalizzabile?
Allora, parto considerando ...
Calcolare la misura del perimetro di un rettangolo sapendo che ha superficie di 324 cm^2 e che la sua base supera di 3 cm il doppio dell'altezza ?
a. 75
b. -75
c. 39
d.78
e. 27
grazie in anticipo
Ciao ragazzi,
potete dirmi come si risolve questo esercizio su mathematica?
Risolvere e discutere, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare:
kx+2y+2kz=1
kx+(3−k)y+3kz=1
kx−(k+1)y+2kz=2
Io avevo provato a comporre la matrice
A = {{k, 2, 2 k}, {k, 3 - k, 3 k}, {k, k - 1, 2 k}};
X = {x, y, z}; B = {1, 1, 2};
Det[{{k, 2, 2 k}, {k, 3 - k, 3 k}, {k, k - 1, 2 k}}]
Reduce[{k^2 - k^3 == 0}]
Reduce[A.X == B, X]
Ma non credo sia giusta. Potete aiutarmi?
Ciao a tutti! Ho dei problemi su questo esercizio:
“ si consideri l’applicazione lineare $f : RR^3 → RR^2 $ definita da:
$f((x),(y),(z))=((x+y),(x-y-z))$
Si determinino una base B si $RR^3$ e una base C di $RR^2$ tali che la matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi sia $ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ ”
ho pensato di risolvere così: considero la base B formata da: $B= {v_1, v_2, v_3}={(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)}$ e la base $C={w_1, w_2}={(l,m),(n,o)}$
so poi che $f(v_1)=(a+b, a-b-c); f(v_2)=(d+e, d-e-f); f(v_3)=(g+h, g-h-i)$ ma anche che $f(v_1)=0*(l,m)+1*(n,o); f(v_2)=0*(l,m)+0*(n,o); f(v_3)=1*(l,m)+0*(n,o)$ cioè esprimo le ...
Salve ragazzi...svolgendo questo esercizio ad un certo punto mi fermo poichè non come gestire la situazione. Vi scrivo la traccia e poi vi dico come l'ho impostato:
Determinare la dimensione e una base per il nucleo e per l'immagine dell'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 tale che f((x,y,z,t))=(x-z,-x+z,6y+2t). Dire se tale applicazione è iniettiva e se è suriettiva.
Io innanzitutto per trovare il nucleo,ho impostato il sistema e applicato l'eliminazione di Gauss alla matrice associata. Però ...
-k1-1+k-11+kk
L' esercizio chiede per quali k la matrice è diagobalizzabile; quello che però non capisco è come mai PRIMA di iniziare la discussione sul k la soluzione dá subito gli autovalori come 2,2,4.
Ho provato su wolphram alpha e dà gli stessi autovalori, ma non riesco proprio a capire perché gli autovalori prescindono da k, io ho ...
Buonasera
Chi sa dirmi com'è fatta la matrice P tale che $D=P^(-1)AP$?
$A=((2,0,1),(-1,1,-1),(0,0,1))$
Ho calcolato gli autovalori ovvero $lambda=2$ e $lambda=1$ con molteplicità algebrica rispettivamente 1 e 2.
Le rispettive basi dei rispettivi autovettori sono:
$lambda=2$ $to$ $(1,-1,0)$
$lambda=1$ $to$ $(0,1,0)$ e $(-1,0,1)$
Ho verificato che è diagonalizzabile perciò posso trovare D e P.
$D=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$ è ...
Salve a tutti! Vorrei una delucidazione su questo tipo di problema sulla matrice associata a un'applicazione lineare in un riferimento.
Considerato il riferimento di R3
$R = (e1 = (1; 1; 0); e2 = (1; 0; 1); e3 = (0; 1; 1))$
sia fk lendomorfismo di R3 ottenuto estendendo per linearità le posizioni:
$fk(e1) = e1 + e3$
$fk(e2) = ke2 + ke3$
$fk(e3) = ke1 + ke3$
(i) Scrivere la matrice A associata ad fk nel riferimento R.
La mia domanda è: la matrice è quella semplicemente formata dai coefficienti della e, quindi
\begin{pmatrix}
1 & ...
Ciao, il prodotto tra una matrice colonna e una matrice quadrata è commutativo?
Ad esempio $ A * B $, dove $A$ =
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0\\
1 & 3 & 0\\
4 & 2 & 0\\
\end{pmatrix}
e $ B = $
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}
$ A*B = B*A $ ??
Salve a tutti,
so che può sembrare si tratti di pignoleria, ma c'è un piccolo passaggio logico del Lang che mi sfugge.
Sul Lang viene definito prodotto scalare un'applicazione \(\displaystyle V \times V \rightarrow K \) che soddisfa tre proprietà, ovvero
\(\displaystyle \mathit{=} \)
\(\displaystyle ...
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