Geometria e Algebra Lineare

Salve, di recente mi sono reso conto che diverse fonti danno definizioni diverse della matrice di cambiamento di base. La definizione di matrice di cambiamento di base (o coordinate) a cui sono abituato è la seguente: Date due basi $E, F$ dello stesso spazio vettoriale, la matrice di cambiamento dalla base $E$ alla base $F$ è la matrice (unica) che, moltiplicata per il vettore colonna delle componenti di un vettore rispetto alla base di partenza ...

Siano date in $V = RR^3$ la base canonica $E = {e_1 , e_2 , e_3}$ e la base $B = {b_1 = e_1 + e_2 , b_2 = e_2 + e_3 , b_3 = e_1}$. Siano inoltre dati: - il funzionale $f : V → RR$ che nelle basi B di V e 1 di $RR$ si rappresenta tramite la matrice $A=(1, −1, 0)$; - l’operatore F : V → V che nella base B (in partenza e in arrivo) si rappresenta tramite la matrice $ M=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ Determinare: 1. la matrice rappresentativa di f nelle basi E di V e 1 di $RR$; 2. la matrice ...

Buonasera. C'è una tipologia di esercizi di algebra che ancora non comprendo bene: discutere esistenza e unicità di applicazioni lineari. Da quanto ho capito, in primo luogo considero le preimmagini. Se esse formano una base del dominio, allora esistenza e unicità sono garantite, quindi mi basta controllare l'indipendenza lineare. Altrimenti, devo considerare le immagini: se trovo dei vettori linearmente dipendenti devo verificare che essi sono dati dalle immagini dei vettori linearmente ...

Salve a tutti! Propongo questo esercizio su cui ho dei dubbi. "Fissato $n>=1$, siano $A,B in M(n,CC)$ due matrici tali che $AB=BA$. Dimostrare le seguenti affermazioni: 1)A,B diagonalizzabili $=>$ A+B diagonalizzabile 2)A,B nilpotenti $=>$ A+B nilpotente 3) Esistono $C,N in M(n,CC)$, $C$ diagonalizzabile, N nilpotente, tali che CN=NC e A=C+N Ho fatto il primo punto che non è sembrato molto complicato. Per il secondo avevo pensato ...

Ciao a tutti, ho un nuovo problema. In breve, questa volta siamo in$V=RR_2[x]$, abbiamo $U=<x^2-x, 1+x>$ e $W={finL(v) | U sub Ker(f)}$. Ho dimostrato che $W$ è un sottospazio di $L(V)$, ma non riesco a calcolarne la dimensione. Inoltre, il terzo punto mi dà un'applicazione $h$ tale che $h(p)=p-xp'+1/2x^2p''$ e mi chiede di stabilire se appartiene al sottospazio. Quindi, in teoria dovrei semplicemente scrivere la matrice rappresentativa di questa applicazione, e ...

Se posso, posterei anche un altro esercizio in cui mi blocco a metà strada: Siano dati i due sottospazi vettoriali di RR^4 $V = {x ∈ RR^4 |x + y + z + t = 0};$ $W = span[[1],[2],[3],[4]]$ Dire se gli insiemi $E = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) ⊆ W}$ e $E' = {f ∈ End(RR^4) | f(V ) = W}$ sono sottospazi vettoriali di $End(RR^4)$ e in caso affermativo determinarne la dimensione. Allora, prima di tutto cerco di capire come sono fatti questi due insiemi. Il generico vettore di V è $[[x],[y],[z],[-x-y-z]]$, dunque una base $ℬ_V=[[1],[0],[0],[-1]], [[0],[1],[0],[-1]], [[0],[0],[1],[-1]]$ Una ...

Di nuovo ciao. Chiedo scusa per i molti post ma ho molti dubbi e l'esame si avvicina Stavolta l'esercizio è il seguente: Sia data l'applicazione $varphi_(h, k) : RR^2 xx RR^2 rarr RR$ tale che $varphi_(h, y)(x, y) = (2 − h)x_1y_1 + kx_1y_2 − k^3x_2y_1 + (4 − h_2)x_2y_2$ a) Determinare per quali h e k $varphi_(h, k)$ definisce un prodotto scalare definito positivo. b) Per h = 1, trovare l'aggiunto dell'endomorfismo di $RR^2$ $f(z, t) = ((-t), (2z+3t))$ rispetto al prodotto scalare definito in precedenza. Allora, io procedo verificando le proprietà della forma. ...

Salve a tutti, ho un semplice dubbio da proporvi e mi scuso anticipatamente per disturbarvi per così poco . Nel caso io abbia 4 vettori in R^4 e debba dimostrare che questi siano una base di R^4 volevo sapere se è sufficiente associarli ad una base ed effettuare la riduzione a scalini. Spiegandomi meglio: se riesco a portare la matrice composta dai 4 vettori di partenza in una forma "a scalini" ho dimostrato che essi formano una base di R^4? P.S: So bene che la definizione di base afferma che ...

Salve ragazzi, avrei un problema per quanto riguarda un esercizio sulle applicazioni lineari. Mi dice di esibire un'applicazione lineare f di R^2 in R^2 con (2,1) appartenente al ker f e (1,3) appartenente all immagine di f. Il problema è che di solito io faccio l'inverso e cioè mi devo trovare il ker e l' immagine e quindi non so come procedere. Spero che voi possiate aiutarmi Grazie mille

Ciao a tutti! Mi sono imbattuto in questa dimostrazione e ho un dubbio che mi attanaglia. Ho dimostrato così che se una matrice conserva la norma, allora è ortogonale (considerato il prodotto scalare standard). Una matrice conserva la norma se $ <Au,Au> = <u,u> $. Preso $ u=v-w $, la formula precedente diventa $ <A(v-w),A(v-w)> = <v-w,v-w> $. Sviluppando si ottiene: $ -2<Av,Aw> = -2<v,w> $ che, eliminando $ -2 $ da entrambe le parti, dà proprio la definizione di matrice ortogonale. Cercando di ...

Spero in un aiuto da parte vostra perché né sui libri né su internet riesco a trovare un problema uguale al mio e non so proprio come risolverlo! La domanda è e cito: Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2. Trovare la dimensione di V e una base diversa dalla base canonica. Allora essendo uno spazio vettoriale di polinomi di grado al più 2 la dimensione dovrebbe essere 3 se non vado errato. Non riesco però a capire come posso trovare una base ...

Salve a tutti, ho questo esercizio di algebra lineare: Sia $phi : CC^2 rarr CC^2$ l'applicazione lineare associata alla matrice $A=[[2, 1+i],[1-i, 3]]$ nella base canonica. Determina gli autovalori e gli autospazi; trova, se esiste, una matrice unitaria U che diagonalizza A. Allora, comincio calcolandomi il polinomio caratteristico della matrice: $chi_A=det(A-lambdaI)=(2-lambda)(3-lambda)-(1+lambda)(1-i)=lambda^2-5lambda+4$ Gli autovalori sono 1 e 4, tutti distinti tra loro, quindi la matrice è diagonalizzabile. Calcolare gli autospazi a questo punto è questione ...

Ciao a tutti, ho tra le mani un paio di esercizi teorici di cui ho un abbozzo di soluzione: 1) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $KK$. Si dimostri che se $f ∈ End(V)$ è diagonalizzabile, allora per ogni intero $n ≥ 2$ l’endomorfismo $f^n$ è diagonalizzabile. E' vero che se $f ∈ End(V)$ è tale che esista $n ≥ 2$ tale che $f^n$ è diagonalizzabile, allora f è diagonalizzabile? Allora, parto considerando ...

Calcolare la misura del perimetro di un rettangolo sapendo che ha superficie di 324 cm^2 e che la sua base supera di 3 cm il doppio dell'altezza ? a. 75 b. -75 c. 39 d.78 e. 27 grazie in anticipo

Ciao ragazzi, potete dirmi come si risolve questo esercizio su mathematica? Risolvere e discutere, al variare del parametro reale k, il seguente sistema lineare: kx+2y+2kz=1 kx+(3−k)y+3kz=1 kx−(k+1)y+2kz=2 Io avevo provato a comporre la matrice A = {{k, 2, 2 k}, {k, 3 - k, 3 k}, {k, k - 1, 2 k}}; X = {x, y, z}; B = {1, 1, 2}; Det[{{k, 2, 2 k}, {k, 3 - k, 3 k}, {k, k - 1, 2 k}}] Reduce[{k^2 - k^3 == 0}] Reduce[A.X == B, X] Ma non credo sia giusta. Potete aiutarmi?

Ciao a tutti! Ho dei problemi su questo esercizio: “ si consideri l’applicazione lineare $f : RR^3 → RR^2 $ definita da: $f((x),(y),(z))=((x+y),(x-y-z))$ Si determinino una base B si $RR^3$ e una base C di $RR^2$ tali che la matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi sia $ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ ” ho pensato di risolvere così: considero la base B formata da: $B= {v_1, v_2, v_3}={(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)}$ e la base $C={w_1, w_2}={(l,m),(n,o)}$ so poi che $f(v_1)=(a+b, a-b-c); f(v_2)=(d+e, d-e-f); f(v_3)=(g+h, g-h-i)$ ma anche che $f(v_1)=0*(l,m)+1*(n,o); f(v_2)=0*(l,m)+0*(n,o); f(v_3)=1*(l,m)+0*(n,o)$ cioè esprimo le ...

Salve ragazzi...svolgendo questo esercizio ad un certo punto mi fermo poichè non come gestire la situazione. Vi scrivo la traccia e poi vi dico come l'ho impostato: Determinare la dimensione e una base per il nucleo e per l'immagine dell'applicazione lineare f:R^4 --> R^3 tale che f((x,y,z,t))=(x-z,-x+z,6y+2t). Dire se tale applicazione è iniettiva e se è suriettiva. Io innanzitutto per trovare il nucleo,ho impostato il sistema e applicato l'eliminazione di Gauss alla matrice associata. Però ...

-k1-1+k-11+kk L' esercizio chiede per quali k la matrice è diagobalizzabile; quello che però non capisco è come mai PRIMA di iniziare la discussione sul k la soluzione dá subito gli autovalori come 2,2,4. Ho provato su wolphram alpha e dà gli stessi autovalori, ma non riesco proprio a capire perché gli autovalori prescindono da k, io ho ...

Buonasera Chi sa dirmi com'è fatta la matrice P tale che $D=P^(-1)AP$? $A=((2,0,1),(-1,1,-1),(0,0,1))$ Ho calcolato gli autovalori ovvero $lambda=2$ e $lambda=1$ con molteplicità algebrica rispettivamente 1 e 2. Le rispettive basi dei rispettivi autovettori sono: $lambda=2$ $to$ $(1,-1,0)$ $lambda=1$ $to$ $(0,1,0)$ e $(-1,0,1)$ Ho verificato che è diagonalizzabile perciò posso trovare D e P. $D=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,2))$ è ...

Salve a tutti! Vorrei una delucidazione su questo tipo di problema sulla matrice associata a un'applicazione lineare in un riferimento. Considerato il riferimento di R3 $R = (e1 = (1; 1; 0); e2 = (1; 0; 1); e3 = (0; 1; 1))$ sia fk l’endomorfismo di R3 ottenuto estendendo per linearità le posizioni: $fk(e1) = e1 + e3$ $fk(e2) = ke2 + ke3$ $fk(e3) = ke1 + ke3$ (i) Scrivere la matrice A associata ad fk nel riferimento R. La mia domanda è: la matrice è quella semplicemente formata dai coefficienti della e, quindi \begin{pmatrix} 1 & ...