Un criterio di nullomotopia

[killing_buddha]

Un risultato essenziale in teoria dell'omotopia elementare è questa caratterizzazione della nullomotopia: è un esercizio piuttosto istruttivo.


Sia $f : X \to Y$ una mappa continua. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

[*:2q2wtd1w] $f$ è omotopa a una mappa costante[/*:m:2q2wtd1w]
[*:2q2wtd1w] Esiste un diagramma
\[
\begin{CD}
X @>h>> \bar X \\
@VfVV @VVgV\\
Y @= Y
\end{CD}
\]
che commuta a meno di una omotopia \(H : f \simeq gh\), dove $\bar X$ è uno spazio contraibile.[/*:m:2q2wtd1w]
[*:2q2wtd1w] Esiste un diagramma commutativo
\[
\begin{CD}
X @>i_0>> CX \\
@VfVV @VVeV\\
Y @= Y
\end{CD}
\]
dove $CX$ è il cono di $X$ ottenuto come quoziente di $X\times [0,1]$:
\[
\begin{CD}
X @>>> * \\
@Vi_1VV @VVV\\
X\times[0,1] @>>> CX
\end{CD}
\]
e dove \(i_\epsilon\) include $X$ nella copia \(X\times\{\epsilon\}\).[/*:m:2q2wtd1w]
[*:2q2wtd1w] Esiste un diagramma commutativo
\[
\begin{CD}
X @>\ell>> PY \\
@VfVV @VV\text{ev}_0V\\
Y @= Y
\end{CD}
\]
dove $PY$ è lo spazio dei cammini di $Y$, cioè l'insieme delle funzioni $[0,1]\to Y$ con una topologia opportuna, e $ev_0$ è la mappa che manda un cammino $\gamma \in PY$ in $\gamma(0)$.[/*:m:2q2wtd1w][/list:u:2q2wtd1w]

Da ciò otteniamo un quadrato commutativo
\[
\begin{CD}
X @>\ell>> PY \\
@Vi_0VV @VV\text{ev}_0V\\
CX @>>e> Y
\end{CD}
\]
Dimostrate, ora, che esiste una ulteriore mappa $CX\to PY$ che spezza questo quadrato in due triangoli commutativi.