Riduzione per colonne di un sistema lineare
Salve a tutti. Sto vivendo uno dei soliti momenti di rabbia pre-esame in cui ho dei dubbi e nessuno riesce a togliermeli.
Il caso in questione in realtà penso sia semplice ma le risposte discordanti dei colleghi mi fanno dubitare di molto cose che ho sempre date per scontate, quindi cerco di suddividere il problema in piccoli problemi.
Dato un sistema:
$ { ( ax+by+cz=d ),( ex+fy+gz=h ),( ix+ly+mz=n ):} $
è possibile riscriverlo come una matrice:
$ [ ( a , b , c ),( e , f , g ),( i , l , m ) ] | ( d ),( l ),( n ) | $
(ho provato a scrivere una matrice estesa), ed è possibile allo stesso modo, data la matrice, riscriverla come il sistema precedente. Vero?
Ora: una proprietà sacrosanta dei sistemi (che scoprii da me in seconda superiore tra l'altro e che quindi ho profondamente insita nel cervello
) è la riduzione. Che equivale alla riduzione per righe se dovessi rappresentare il sistema come matrice.
Ma, che non equivale alla riduzione per colonne. Quindi, la prima domanda è, è possibile adoperare la riduzione per colonne nella risoluzione di un sistema lineare (sia omogeneo o no, poco m'importa)? Per me è evidente che non si può, perché sarebbe come fare addizione e sottrazione tra ax e by e ottenere qualcosa in x o in y. Però non ho gli strumenti per dimostrare che questo non sia lecito (al massimo ho l'intuizione, non il rigore).
Così vengo al punto, se nel caso la riduzione per colonne fosse, come effettivamente credo, un'operazione insensata per matrici che rappresentano sistemi: nel libro del mio professore si fa una cosa simile alla riduzione per colonna:
In effetti, l'esercizio è il seguente:
date le matrici 2x2 A, B, e C, aventi un parametro h, dire per quali valori di h, esse sono linearmente indipendenti in R^(2,2).
Il procedimento che mostra per esercizi precedenti è molto semplice: scrivere la combinazione lineare di A, B e C, porla = 0 e assicurarsi che questo valga solo la terna dei loro coefficienti nulla:
$ Ax+By+Cz=0 $ solo per $ (x,y,z)=(0,0,0) $
Siccome si tratta di matrici 2x2, bisogna ricondursi al caso di un sistema di 4 equazioni in 3 incognite. Anche questo passo è mostrato nel libro per esercizi precedenti:
$ { ( a_11 x+b_11 y+c_11z=0 ),( a_12 x+b_12 y+c_12z=0 ),( a_21 x+b_21 y+c_21z=0 ),( a_22 x+b_22 y+c_22z=0 ):} $
Da qui, io scriverei la matrice corrispondente come 4x3 e userei la riduzione (per righe!).
$ ( ( a_11 , b_11 , c_11 ),( a_12 , b_12 , c_12 ),( a_21 , b_21 , c_21 ),( a_22 , b_22 , c_22 ) ) $
Invece, il prof, sottintendendo tutto il procedimento mostrato fino ad ora (evidentemente perché già mostrato in un paio di esercizi precedenti), scrive direttamente la matrice. Ma in questa forma:
$ ( ( a_11 , a_12 , a_21 , a_22 ),( b_11 , b_12 , b_21 , b_22 ),( c_11 , c_12 , c_21 , c_22 ) ) $
e riduce per righe. Ma questo è l'equivalente di ridurre per colonna nella mia matrice.
Allora mi chiedo:
1) perché abbia scritto la matrice in questo "verso". Per me è controintuitivo, per non dire che è in contrasto con il modo in cui ha riscritto i sistemi come matrici negli esercizi precedenti (che è il modo in cui ho scritto io la matrice);
2) se si possa usare la riduzione in colonna, perché in sostanza, quello che ha fatto il prof qui, è ridurre in colonna se avesse riscritto la matrice come Dio comanda.
Ho il sospetto che siccome bisogna verificare che il rango sia 3 per ogni h per affermare che le tre matrici sono linearmente indipendenti, sia indifferente scrivere la matrice finale come 3x4 o 4x3, fatto sta che è terribilmente equivoco perché mi porta a chiedere se questa riscrittura della matrice sia sempre possibile, aldilà del calcolo del rango, o se sia valida solo per il calcolo del rango.
:S
Il caso in questione in realtà penso sia semplice ma le risposte discordanti dei colleghi mi fanno dubitare di molto cose che ho sempre date per scontate, quindi cerco di suddividere il problema in piccoli problemi.
Dato un sistema:
$ { ( ax+by+cz=d ),( ex+fy+gz=h ),( ix+ly+mz=n ):} $
è possibile riscriverlo come una matrice:
$ [ ( a , b , c ),( e , f , g ),( i , l , m ) ] | ( d ),( l ),( n ) | $
(ho provato a scrivere una matrice estesa), ed è possibile allo stesso modo, data la matrice, riscriverla come il sistema precedente. Vero?
Ora: una proprietà sacrosanta dei sistemi (che scoprii da me in seconda superiore tra l'altro e che quindi ho profondamente insita nel cervello
) è la riduzione. Che equivale alla riduzione per righe se dovessi rappresentare il sistema come matrice.Ma, che non equivale alla riduzione per colonne. Quindi, la prima domanda è, è possibile adoperare la riduzione per colonne nella risoluzione di un sistema lineare (sia omogeneo o no, poco m'importa)? Per me è evidente che non si può, perché sarebbe come fare addizione e sottrazione tra ax e by e ottenere qualcosa in x o in y. Però non ho gli strumenti per dimostrare che questo non sia lecito (al massimo ho l'intuizione, non il rigore).
Così vengo al punto, se nel caso la riduzione per colonne fosse, come effettivamente credo, un'operazione insensata per matrici che rappresentano sistemi: nel libro del mio professore si fa una cosa simile alla riduzione per colonna:
In effetti, l'esercizio è il seguente:
date le matrici 2x2 A, B, e C, aventi un parametro h, dire per quali valori di h, esse sono linearmente indipendenti in R^(2,2).
Il procedimento che mostra per esercizi precedenti è molto semplice: scrivere la combinazione lineare di A, B e C, porla = 0 e assicurarsi che questo valga solo la terna dei loro coefficienti nulla:
$ Ax+By+Cz=0 $ solo per $ (x,y,z)=(0,0,0) $
Siccome si tratta di matrici 2x2, bisogna ricondursi al caso di un sistema di 4 equazioni in 3 incognite. Anche questo passo è mostrato nel libro per esercizi precedenti:
$ { ( a_11 x+b_11 y+c_11z=0 ),( a_12 x+b_12 y+c_12z=0 ),( a_21 x+b_21 y+c_21z=0 ),( a_22 x+b_22 y+c_22z=0 ):} $
Da qui, io scriverei la matrice corrispondente come 4x3 e userei la riduzione (per righe!).
$ ( ( a_11 , b_11 , c_11 ),( a_12 , b_12 , c_12 ),( a_21 , b_21 , c_21 ),( a_22 , b_22 , c_22 ) ) $
Invece, il prof, sottintendendo tutto il procedimento mostrato fino ad ora (evidentemente perché già mostrato in un paio di esercizi precedenti), scrive direttamente la matrice. Ma in questa forma:
$ ( ( a_11 , a_12 , a_21 , a_22 ),( b_11 , b_12 , b_21 , b_22 ),( c_11 , c_12 , c_21 , c_22 ) ) $
e riduce per righe. Ma questo è l'equivalente di ridurre per colonna nella mia matrice.
Allora mi chiedo:
1) perché abbia scritto la matrice in questo "verso". Per me è controintuitivo, per non dire che è in contrasto con il modo in cui ha riscritto i sistemi come matrici negli esercizi precedenti (che è il modo in cui ho scritto io la matrice);
2) se si possa usare la riduzione in colonna, perché in sostanza, quello che ha fatto il prof qui, è ridurre in colonna se avesse riscritto la matrice come Dio comanda.
Ho il sospetto che siccome bisogna verificare che il rango sia 3 per ogni h per affermare che le tre matrici sono linearmente indipendenti, sia indifferente scrivere la matrice finale come 3x4 o 4x3, fatto sta che è terribilmente equivoco perché mi porta a chiedere se questa riscrittura della matrice sia sempre possibile, aldilà del calcolo del rango, o se sia valida solo per il calcolo del rango.
:S
Risposte
Dato che il rango della trasposta è lo stesso di quello della principale, penso l'abbia fatto per comodità ...
"axpgn":
Dato che il rango della trasposta è lo stesso di quello della principale, penso l'abbia fatto per comodità ...
okay. Ma per trovare le soluzioni di un sistema lineare non posso farlo, vero? O, riformulato, la riduzione per colonne non vale per i sistemi di equazioni, giusto?
Beh, tu pensa che le "incognite" di un sistema $4 xx 3$ sono tre mentre quelle di un sistema $3 xx 4$ sono quattro quindi in generale credo proprio di no, però non sono un esperto e quindi non mi sento certo di escludere che la "riduzione per colonne" come la chiami tu o l'uso della trasposta al posto della principale abbia altre importanti proprietà oltre al rango in comune ...
posto che anche per il tuo professore vale il sistema:
mi sembra che la rappresentazione che ne dia lui sia sbagliata e sia corretta la tua anche perchè tenendo la sua moltiplicando per il vettore incognite (x,y,z) mi sembra si abbiano almeno due problemi:
1. non sono sufficienti le incognite ne serve una in più
2. non è più il sistema di partenza.
per quanto riguarda la riduzione per colonne io sapevo che le uniche mosse lecite fossero quelle che vengono chiamate mosse elementari o mosse di Gauss, ovvero:
1. scambiare tra loro due righe
2. moltiplicare una riga per uno scalare diverso da zero
3. sommare ad una riga il multiplo di un’altra (fare una combinazione lineare della riga con un'altra riga)
$ { ( a_11x+b_11y+c_11z=0 ),( a_12x+b_12y+c_12z=0 ),(a_21x+b_21y+c_21z=0),(a_22x+b_22y+c_22z=0):} $
mi sembra che la rappresentazione che ne dia lui sia sbagliata e sia corretta la tua anche perchè tenendo la sua moltiplicando per il vettore incognite (x,y,z) mi sembra si abbiano almeno due problemi:
1. non sono sufficienti le incognite ne serve una in più
2. non è più il sistema di partenza.
per quanto riguarda la riduzione per colonne io sapevo che le uniche mosse lecite fossero quelle che vengono chiamate mosse elementari o mosse di Gauss, ovvero:
1. scambiare tra loro due righe
2. moltiplicare una riga per uno scalare diverso da zero
3. sommare ad una riga il multiplo di un’altra (fare una combinazione lineare della riga con un'altra riga)
grazie ad entrambi per il feedback.
(non stavo dicendo fesserie allora
)
(non stavo dicendo fesserie allora
)
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