Matrici trasposte

[SaraC1234]

Data la seguente matrice A= $((1,0,k),(0,k,0),(k,0,1))$

Per quali k esiste B tale che B A B^t = I
I = matrice identica
B^t = trasposta di B

[Shocker1]

Qual è la segnatura della matrice(che suppongo sia a coefficienti reali)?

[yonko1]

Essendo una matrice simmetrica, possiamo sfruttare le proprietà legate alla simmetria.
in particolare sappiamo che è possibile trovare una matrice degli autovettri ortogonale.
In questo caso la matrice degli autovettori è $B$, e l'inversa di una matrice ortogonale è la sua trasposta.
Quindi $B*B'=I$
Mentre la matrice identità nel tuo caso rappresenta la matrice che contiene nella diagonale gli autovalori.
Quindi in sostanza
Ti calcoli il polinomio caratteristico e imponi che gli autovalori siano uguali a 1.
Ti dovrebbe venire un polinomio con incognita K. Scegli uno dei valori di K e hai risolto.

PS: Sono uno studente, aspetta la parola degli esperti per ulteriori chiarimenti, o se magari il mio metodo risulta errato.

[Shocker1]

"yonko":Essendo una matrice simmetrica, possiamo sfruttare le proprietà legate alla simmetria.
in particolare sappiamo che è possibile trovare una matrice degli autovettri ortogonale.
In questo caso la matrice degli autovettori è $B$, e l'inversa di una matrice ortogonale è la sua trasposta.
Quindi $B*B'=I$
Mentre la matrice identità nel tuo caso rappresenta la matrice che contiene nella diagonale gli autovalori.
Quindi in sostanza
Ti calcoli il polinomio caratteristico e imponi che gli autovalori siano uguali a 1.
Ti dovrebbe venire un polinomio con incognita K. Scegli uno dei valori di K e hai risolto.

PS: Sono uno studente, aspetta la parola degli esperti per ulteriori chiarimenti, o se magari il mio metodo risulta errato.

Non è necessario che gli autovalori siano uguali a $1$, basta che siano tutti positivi: le matrici simmetriche inducono prodotti scalari, sicché per ottenere l'identità basta trovare una base ortonormale per il prodotto indotto, il che equivale a dire che la matrice ha tutti autovalori positivi(conseguenza del teorema spettrale) o che la sua segnatura è del tipo $(n, 0, 0)$ dove $n =$ indice di positività della matrice, cioè la matrice induce un prodotto scalare definito positivo, e qui la base ortonormale te la regala il teorema di Sylvester(senza ricorrere al th spettrale reale).

[SaraC1234]

"Shocker":Qual è la segnatura della matrice(che suppongo sia a coefficienti reali)?

Calcolando il polinomio caratteristico ho trovato i 3 auto valori che sono : k, 1-k,1+k


Quindi per ogni k vale ? Visto che la matrice é simmetrica ?

[SaraC1234]

"Shocker":Qual è la segnatura della matrice(che suppongo sia a coefficienti reali)?

Per 0

Cita

Segnala

[Shocker1]

"SaraC1234":[quote="Shocker"]Qual è la segnatura della matrice(che suppongo sia a coefficienti reali)?

Per 0 Per questi valori di $k$ gli autovalori sono tutti positivi, quindi $A$ è definita positiva e quindi puoi trovare una matrice $B$ tale che $B^t A B = I$

[SaraC1234]

"Shocker":[quote="SaraC1234"][quote="Shocker"]Qual è la segnatura della matrice(che suppongo sia a coefficienti reali)?

Per 0 Per questi valori di $k$ gli autovalori sono tutti positivi, quindi $A$ è definita positiva e quindi puoi trovare una matrice $B$ tale che $B^t A B = I$[/quote]

Grazie mille