Determinazione di spazio ortogonale con vettori linearmente dipententi
Buonasera,
Stavo svolgendo l'esercizio seguente:
sia H il sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) generato da {v1, v2, v3} con:
v1 = (-1,1,-1,2)
v2 = (3,-1,1,8)
v3 = (2,-1,1,3)
l'esercizio chiede: dato Q spazio dei vettori ortogonali a H di calcolare la dimensione di Q.
Per svolgere l'esercizio ho calcolato base e dimensione dello spazio H con l'eliminazione gaussiana, trovando dimensione 2 e che i 3 vettori sono effettivamente una base di H.
Ora, la mia idea era di applicare la tecnica per determinare il complemento ortogonale del sottospazio H, visto che so la base, ma c'è un problema.
Visto che i 3 vettori sono linearmente dipendenti (in particolare lo sono v1 e v2) come imposto il sistema lineare corrispondente? Devo rimuovere uno dei due vettori linearmente dipendenti?
Stavo svolgendo l'esercizio seguente:
sia H il sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) generato da {v1, v2, v3} con:
v1 = (-1,1,-1,2)
v2 = (3,-1,1,8)
v3 = (2,-1,1,3)
l'esercizio chiede: dato Q spazio dei vettori ortogonali a H di calcolare la dimensione di Q.
Per svolgere l'esercizio ho calcolato base e dimensione dello spazio H con l'eliminazione gaussiana, trovando dimensione 2 e che i 3 vettori sono effettivamente una base di H.
Ora, la mia idea era di applicare la tecnica per determinare il complemento ortogonale del sottospazio H, visto che so la base, ma c'è un problema.
Visto che i 3 vettori sono linearmente dipendenti (in particolare lo sono v1 e v2) come imposto il sistema lineare corrispondente? Devo rimuovere uno dei due vettori linearmente dipendenti?
Risposte
"TheLevia":
trovando dimensione 2 e che i 3 vettori sono effettivamente una base di H.
questa è una contraddizione. o la dimensione di H è 2 e quindi i vettori sono linearmente dipendenti ( e perciò NON formano una base) oppure essi formano una base (e quindi sono linearmente INdipendenti) e la dimensione è 3. la cosa che hai scritto però non può essere vera.
per continuare l'esercizio la strada adottata mi sembra corretta
ho rifatto i conti rifacendo l'eliminazione e la matrice di partenza
$[[-1 , 3 , 2],[1 , -1 , -1],[-1 , 1 , 1],[2 , 8 , 3]]$
dopo l'eliminazione mi diventa
$[(-1 , 3 , 2),(0 , 2 , 1),(0 , 0 , 0),(0 , 0 , 0)]$
e sono sicuro che la dimensione è 2 visto che il rango è 2,
Sono sicuro anche sulla dipendenza lineare dei 3 vettori in quanto, se faccio
\(\displaystyle a(-1,1,-1,2) + b(3,-1,1,8) + c(2,-1,1,3) = (0,0,0,0) \)
ottengo che ciò è vero per esempio per a=1, b=-1 e c=2
potrei prendere per esempio {v1,v2} come base e fare il complemento ortogonale?
$[[-1 , 3 , 2],[1 , -1 , -1],[-1 , 1 , 1],[2 , 8 , 3]]$
dopo l'eliminazione mi diventa
$[(-1 , 3 , 2),(0 , 2 , 1),(0 , 0 , 0),(0 , 0 , 0)]$
e sono sicuro che la dimensione è 2 visto che il rango è 2,
Sono sicuro anche sulla dipendenza lineare dei 3 vettori in quanto, se faccio
\(\displaystyle a(-1,1,-1,2) + b(3,-1,1,8) + c(2,-1,1,3) = (0,0,0,0) \)
ottengo che ciò è vero per esempio per a=1, b=-1 e c=2
potrei prendere per esempio {v1,v2} come base e fare il complemento ortogonale?
è tutto corretto. quello che allora è sbagliato è aver detto che "quei tre vettori sono effettivamente una base".
potevi anche fare a meno di verificare con la definizione la dipendenza lineare. se dalla matrice dei vettori che generano uno spazio hai che il rango non è massimo, allora sono dipendenti.
se prendi i vettori che corrispondono alle colonne dei pivot allora prendi vettori sicuramente tra loro l.i.
esatto per calcolare il complemento ortogonale prendi solo i vettori di una base di H (ovvero per esempio i primi due vettori che lo generano).
potevi anche fare a meno di verificare con la definizione la dipendenza lineare. se dalla matrice dei vettori che generano uno spazio hai che il rango non è massimo, allora sono dipendenti.
se prendi i vettori che corrispondono alle colonne dei pivot allora prendi vettori sicuramente tra loro l.i.
esatto per calcolare il complemento ortogonale prendi solo i vettori di una base di H (ovvero per esempio i primi due vettori che lo generano).
Scusami se ti disturbo ancora ma ho un'altro dubbio,
come da precedente messaggio ho preso la coppia $v_1,v_2$ e quindi ho impostato:
$[[-1,1,-1,2],[3,-1,1,8]][[x],[y],[z],[w]] = [[0],[0]]$
poi da questo prodotto ho estratto il sistema
$\{(-x + y - z + 2w = 0),(3x - y + z + 8w = 0):}$
che ho semplificato usando Gauss
$ \{(-x + y - z + 2w = 0),(3x - y + z + 8w = 0):} => [[-1,1,-1,2],[3,-1,1,8]] => [[-1,1,-1,2],[0,2,-2,14]] => \{(-x + y - z + 2w = 0),(2y -2z + 14w = 0):} $
ora visto che ho $z$ e $w$ libere fisso $z=t ^^ w=s$ facendo diventare il mio sistema:
$\{(-x + y - z + 2w = 0),(2y -2z + 14w = 0),(z=t),(w=s):} => \{(x = -5s),(y = +t-7s),(z=t),(w=s):}$
come scrivo la combinazione lineare per esprimere la soluzione?
come da precedente messaggio ho preso la coppia $v_1,v_2$ e quindi ho impostato:
$[[-1,1,-1,2],[3,-1,1,8]][[x],[y],[z],[w]] = [[0],[0]]$
poi da questo prodotto ho estratto il sistema
$\{(-x + y - z + 2w = 0),(3x - y + z + 8w = 0):}$
che ho semplificato usando Gauss
$ \{(-x + y - z + 2w = 0),(3x - y + z + 8w = 0):} => [[-1,1,-1,2],[3,-1,1,8]] => [[-1,1,-1,2],[0,2,-2,14]] => \{(-x + y - z + 2w = 0),(2y -2z + 14w = 0):} $
ora visto che ho $z$ e $w$ libere fisso $z=t ^^ w=s$ facendo diventare il mio sistema:
$\{(-x + y - z + 2w = 0),(2y -2z + 14w = 0),(z=t),(w=s):} => \{(x = -5s),(y = +t-7s),(z=t),(w=s):}$
come scrivo la combinazione lineare per esprimere la soluzione?
fidandomi dei tuo conti (che non ho rifatto) un generico vettore dell'ortogonale è per esempio: $ ( ( -5s ),( -7s+t ),( t ),( s ) ) $
questo di decompone in: $ ( ( -5s ),( -7s+t ),( t ),( s ) ) = s( ( -5 ),( -7 ),( 0 ),( 1) )+t( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
questi due vettori costituiscono una base dell'ortogonale e dunque la dimensione di Q è 2.
questo di decompone in: $ ( ( -5s ),( -7s+t ),( t ),( s ) ) = s( ( -5 ),( -7 ),( 0 ),( 1) )+t( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
questi due vettori costituiscono una base dell'ortogonale e dunque la dimensione di Q è 2.
Capito, grazie 1000!
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