Immagine Di Una Applicazione Lineare
Salve a tutti,
vorrei dei chiarimenti circa l'immagine di una matrice definita mediante base canonica.
Sono sostanzialmente due punti che non mi sono chiari;
1) Sul libro che uso c'è scritto che l'immagine è l'insieme dei vettori colonna linearmente indipendenti della matrice, ma su alcuni eserciziari vedo che come immagine mette tutti i vettori colonna anche se sono linearmente dipendenti;
2) altra cosa che ho notato è che su alcuni testi o appunti online non si fa distinzione tra il ridurre la matrice per righe o colonne per poi trovarne una base.
Mi spiegate un pò come effettivamente stanno le cose?
Grazie!
vorrei dei chiarimenti circa l'immagine di una matrice definita mediante base canonica.
Sono sostanzialmente due punti che non mi sono chiari;
1) Sul libro che uso c'è scritto che l'immagine è l'insieme dei vettori colonna linearmente indipendenti della matrice, ma su alcuni eserciziari vedo che come immagine mette tutti i vettori colonna anche se sono linearmente dipendenti;
2) altra cosa che ho notato è che su alcuni testi o appunti online non si fa distinzione tra il ridurre la matrice per righe o colonne per poi trovarne una base.
Mi spiegate un pò come effettivamente stanno le cose?
Grazie!
Risposte
1)L'immagine di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali $V \rarr W $ è $Im(f)={f(v) \in W: v\in V}$.
Se estrai vettori linearmente indipendenti stai semplicemente determinando una base dell'immagine.
2)Si può dimostrare che ridurre per righe o per colonne una matrice è un'operazione equivalente... per esempio il rango è lo stesso sia che tu riduca per righe che per colonne.
Se estrai vettori linearmente indipendenti stai semplicemente determinando una base dell'immagine.
2)Si può dimostrare che ridurre per righe o per colonne una matrice è un'operazione equivalente... per esempio il rango è lo stesso sia che tu riduca per righe che per colonne.
Quindi circa la 1) se avessi la matrice
$ {: ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) :} $ $ rarr $ $ Im (f) = {(2,0);(0,1);(0,1)} $
ma in un testo circa la matrice
$ {: ( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ) :} $
e riducendo per colonne diventa
$ {: ( 1 , 0 , 0 ),( 2 , -1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) :} $ $ rarr $ $ Im (f) = L ((1,2,1,0) ; (0,-1,-1,1))$
Non capisco. E' un problema di notazioni o cosa?
Circa la 2)
sempre tratto dallo stesso testo: "Se si riduce per righe una qualsiasi matrice $A$ associata ad una applicazione lineare $f:V rarr W$ si ottiene una matrice $A'$, ridotta per righe, tale che $rk(A) = rk(A') =dim(Im(f))$ ma in generale lo spazio vettoriale delle colonne di $A$ è diverso da quello delle colonne di $A'$. pertanto ci si deve ricordare che per determinare una base di $Im(f)$ (e non solo la sua dimensione) si deve ridurre la matrice $A$ per colonne e non per righe."
Quindi??
$ {: ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) :} $ $ rarr $ $ Im (f) = {(2,0);(0,1);(0,1)} $
ma in un testo circa la matrice
$ {: ( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ) :} $
e riducendo per colonne diventa
$ {: ( 1 , 0 , 0 ),( 2 , -1 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) :} $ $ rarr $ $ Im (f) = L ((1,2,1,0) ; (0,-1,-1,1))$
Non capisco. E' un problema di notazioni o cosa?
Circa la 2)
sempre tratto dallo stesso testo: "Se si riduce per righe una qualsiasi matrice $A$ associata ad una applicazione lineare $f:V rarr W$ si ottiene una matrice $A'$, ridotta per righe, tale che $rk(A) = rk(A') =dim(Im(f))$ ma in generale lo spazio vettoriale delle colonne di $A$ è diverso da quello delle colonne di $A'$. pertanto ci si deve ricordare che per determinare una base di $Im(f)$ (e non solo la sua dimensione) si deve ridurre la matrice $A$ per colonne e non per righe."
Quindi??
1) Non è un problema di notazioni, non hai capito la definizione di "span". Insomma, la $L$ davanti all'insieme dei vettori indica lo spazio generato da quei vettori. Si intende perciò che l'immagine è generata da quei due vettori lì. Nella prima si ha, stando alla tua notazione, $Im(f)=L((2,0);(0,1)$.
2) Ovvio che lo spazio generato dalle colonne di $A'$ è diverso in generale dallo spazio generato dalle colonne di $A$ (a meno che non sia $A=A^T$, cioè $A$ simmetrica). La cosa che rimane invariate, come ti dice il testo, è che il rango non cambia se si riduce per righe o per colonne, o meglio, lo spazio $dim(C(A))=dim(C(A'))=dim(Im(f))$, cioè non cambia la dimensione.
2) Ovvio che lo spazio generato dalle colonne di $A'$ è diverso in generale dallo spazio generato dalle colonne di $A$ (a meno che non sia $A=A^T$, cioè $A$ simmetrica). La cosa che rimane invariate, come ti dice il testo, è che il rango non cambia se si riduce per righe o per colonne, o meglio, lo spazio $dim(C(A))=dim(C(A'))=dim(Im(f))$, cioè non cambia la dimensione.
1)
La definizone di indipendenza lineare l'ho capita. Non capico perchè in alcuni testi l'immagine sono tutti i vettori colonna e in altri invece usa la definizione di span. O è in un modo o nell'altro. Da qui il dubbio circa le notazioni.
Alla domanda "qual'è l'immagine della matrice associata" cosa bisogna rispondere??
2)
Quindi se lo spazio è diverso l'immagine potrebbe cambiare?
Bisogna comunque ridurre per colonne allora per trovare l'immagine giusto?
La definizone di indipendenza lineare l'ho capita. Non capico perchè in alcuni testi l'immagine sono tutti i vettori colonna e in altri invece usa la definizione di span. O è in un modo o nell'altro. Da qui il dubbio circa le notazioni.
Alla domanda "qual'è l'immagine della matrice associata" cosa bisogna rispondere??
2)
Quindi se lo spazio è diverso l'immagine potrebbe cambiare?
Bisogna comunque ridurre per colonne allora per trovare l'immagine giusto?
1)
Se ti si chiede una base dell'immagine è corretto mettere lo span. Se invece vuoi solo le immagini allora è giusto mettere tutti i vettori, anche se linearmente dipendenti, come nel primo esempio
2) Se riguardi quello che hai scritto citando il testo puoi risponderti da solo
Se ti si chiede una base dell'immagine è corretto mettere lo span. Se invece vuoi solo le immagini allora è giusto mettere tutti i vettori, anche se linearmente dipendenti, come nel primo esempio
2) Se riguardi quello che hai scritto citando il testo puoi risponderti da solo
Bene grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo