Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, Sto riscontrando delle difficoltà dell'applicare la definizione di ellisse per trovare la sua equazione cartesiana.
"Determina l'equazione cartesiana dell'ellisse di fuochi $F1(2,0) F2(-2,0)$ avente semiasse maggiore uguale a 3"
Ho risolto in parte tutti i calcoli, e sono arrivata all'equazione cartesiana $8x^2+18x+9y^2-45=0$
I calcoli che ho eseguito sono corretti? Se volessi trovare l'equazione dell'ellisse nella forma $(x-x_o)^2/(a^2)+(y-y_o)^2/(b^2)$
come faccio?
Salve ho il seguente esercizio:
Calcolare una base ortogonale per il nucleo della trasformazione lineare
f : $R^3$ → $R^3$ definita ponendo
f(x, y, z) = (g(x, y, z), 2g(x, y, z),-g(x, y, z))
con
g(x, y, z) =((10-6)(6-7)−1)x+(7+6-20)y+((10-7)(6-7)+1)z
per ogni (x, y, z) ∈ $R^3$
BASE ORT. ={(7 − 1, −1, 6 + 2),(1, 7 + 6 + 1, 1)}.
Come prima cosa ho calcolato
$g(x,y,z) = (-5x-7y-2z)$
E poi ho calcolato f(x,y,z)
$f(x,y,z) = (-5x-7y-2z,-10x-14y-4z,5x+7y+2z)$
Ho calcolato la matrice e ...
Salve, ho due rette incidenti parametriche. Mi viene chiesto di trovare il coseno del'angolo fra le due.
ho la seguente formula:
$cos theta = (ll' + mm'+n n')/(+-sqrt(l^2+m^2+n^2)*sqrt(l'^2+m'^2+n'^2))$
Il mio problema è che non capisco come calcolare:
$l,l',m,m',n,n'$
$r= \{(x=8t+1),(y=t+2),(z=3t):}$
$s= \{(x=2t+1),(y=4t+2),(z=0):}$
Mi sapreste dire come fare?
Salve, un esercizio del libro chiede di trovare la base dello spazio vettoriale R^4 e mi fornisce 4 vettori. Nella spiegazione dice che siccome il numero dei vettori corrisponde alla dimensione dello spazio vettoriale, allora per verificare se si tratta di una base basta controllare se i vettori sono linearmente indipendenti OPPURE verificare se sono un sistema di generatori. La mia domanda è: perché se il numero dei vettori coincide con la dimensione allora basta una sola delle due verifiche? ...
Buongiorno a tutti, ho il seguente esercizio in cui il testo non riporta la soluzione e vorrei verificarne la correttezza e capire, nel caso ci fossero, eventuali errori.
Consideriamo $RR$ con la topologia $\tau$ avente come aperti non banali ${(-a,a): a>0}$. Sia $J=[0,1]$ con la topologia indotta da $\tau$.
1) Mostrare che $J$ è compatto.
2) L'applicazione $f:J \rarr S^1$, $t \mapsto (cos(2 \pi t), sen(2 \pi t))$ è continua?
3) Sia data la ...
Ciao a tutti
Sto seguendo un corso di geometria differenziale. Ho provato a chiedere al docente dei libri di esercizi e mi ha detto che non ne conosce e di cercare online. Purtroppo non ne ho trovati, soprattutto non ne ho trovati simili a quelli che possono capitare negli scritti. Per esempio:
http://www1.mat.uniroma1.it/people/ogrady/sol-esame-gd-2017-07-07.pdf
http://www1.mat.uniroma1.it/people/ogrady/sol-esame-gd-2017-06-16.pdf
Il corso è incentrato molto sulla coomologia di de rham, e la maggior parte degli esercizi ha a che fare con essa (Mayer-Vietoris, Kunneth, Dualità di Poincaré, ...
Salve, il seguente esercizio chiede di trovare per quali valori di k la retta r risulta parallelo al piano q.
$r = \{(x+y+(12+2)z + 1 = 0), (x+2y = 0):}$
$q = 2z + 2y + (k^2-7*4)z + 2 = 0$
Risultato: $ k = +- 2*sqrt(7+6+1)$
Io ho fatto così, sapendo che per essere parallele non devono aver punti in comune ho impostato la seguente matrice:
$A|B = ((1,1,14,|1),(1,2,0,|0),(2,2,k^2-28,|2))$
L'ho semplificata:
$A|B = ((1,1,14,|1),(0,1,-14,|-1),(0,0,k^2-56,|0))$
Quindi, l'unico modo per cui $Rango(A) != Rango(A|B)$ e' che $K^2-56!=0$
Quindi $k!=+-sqrt(56)$
Perchè nella soluzione invece ha messo ...
Chi potreste spiegare come risolvere questo esercizio?
Si trovino due vettori s(1), s(2) appartenenti a R^4 tali che:
- siano perpendicolari ai vettori v(1) = (2,3,0,1) , v(2) = (-1,2,3,1) e
- l'insieme [ s(1), s(2) ] sia linearmente indipendente.
Grazie
Cosa significa $\bar{u}\bar{u}$ in quest'espressione ?
$|u|=\bar{u}\bar{u}$
Il primo significa norma di $u$ ma l'altro membro?
Buon pomeriggio! Ho delle difficoltà nell'affrontare questo esercizio:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia $varphi in PS(V)$ un prodotto scalare non degenere su V. Sia $f in End(V)$ e sia $W sub V$ un sottospazio f-invariante. Indichiamo con $f^(*)$ l'aggiunta di f rispetto a $varphi$. Dimostare che:
1) $(W)^(bot)$ è $f^(*)$-invariante
2) il polinomio caratteristico di $f^(*)$ ,ristretto a ...
Calcolare una base spettrale per l’endomorfismo f :$R^3$ → $R^3$
definito ponendo f(x, y, z) = (x + (6 − 7)y + (7 + 2)z,(7 + 2)y, x + (6 + 2)y + (7 + 2)z)
per ogni (x, y, z) ∈ $R^3$
BASE SPETTRALE ={(−7 − 2, 0, 1),(−6 − 2, 1, −6 − 1),(1, 0, 1)}
Ho calcolato:
$f(x,y,z) = (x-y+9z, 9y, x+8y+9z)$
Trasformato in matrice:
$ ( ( 1 , -1 , 9 ),( 0 , 9 , 0 ),( 1 , 8 , 9 ) ) $
Calcolato gli autovalori
$ ( ( 1-\lambda , -1 , 9 ),( 0 , 9-\lambda , 0 ),( 1 , 8 ,9-\lambda) ) $
Det = $(1-\lambda)*(9-\lambda)*(9-\lambda)-(9*(9-\lambda)) =$
$\lambda_1 = 0$
$\lambda_2 = 9$
$\lambda_3 = 10$
Sostituisco ...
Ciao a tutti, è la prima volta che affronto un esercizio di diagonalizzazione con i parametri, questo è l'esercizio:
" Si consideri, al variare di $k$ in $RR$, l’endomorfismo $f : R_2[x] →R_2[x]$ definito da:$ a_0 + a_1x + a_2x^2 → (k + 1)a_0 + 2ka_1 −(a_0 + ka_1)x + (a_1 −ka_0)x^2$ . Devo determina i valori di k per i quali l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Innanzitutto ho individuato il polinomio ...
salve a tutti ragazzi avrei bisogno di aiuto con questo esercizio. Sia data l'applicaizone lineare R^3->R^3 tale che f(x,y,z)=(3x,x+y,y-z).Sia fissata la seguente base B:{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)} determina la matrice associata all'applicazione lineare f rispetto alla base B: $ M_B^B $
Ciao a tutti, stavo cercando di risolvere questo esercizio ... ma non sono sicura di ciò che ho fatto e mi sono bloccata... qualcuno potrebbe aiutarmi per favore? grazie mille
" Nello spazio vettoriale Euclideo $V = (RR^4 , <,> )$, dove indica il prodotto scalare std, si consideri la famiglia di endomorfismi $f_a in End(V)$, con $a$ parametro reale, tali che :
$f_a ((x),(y),(z),(w)) = ((ax+w),(y+a^2 z),(y+az),(a^2 x+w))$
1) determinare i valori del parametro reale $a$ che rendono ...
Ciao a tutti, mi serve una mano per un punto di questo esercizio :
Dati i seguenti sottospazi di $RR^5$
$U_1 = {(1,0,0,1,0),(0,0,1,1,-1),(1,0,1,2,0)}$
$U_2 = {(1,0,0,0,2),(3,0,0,1,-1),(-5,0,0,2,2)}$
Determinare una base ed una dimensione di $U_1$ , $U_2$ , $U_1 + U_2$ e $U_1\capU_2$
Ho trovato che $U_1$ e $U_2$ hanno dimensione $3$ e una base è data proprio dai vettori che li generano.
Una base del sottospazio somma $U_1+U_2$ è ${(1,0,0,1,0),(0,0,1,1,-1),(1,0,1,2,0),(1,0,0,0,2)}$ che ha ...
Ciao non riesco a risolvere l'ultimo punto riguardante un problema di rette e piani:
r:
x = 1 + 2t
y = 3t
z = 2
s:
3x - 2y = -2
z = 1
c) determinare l'equazione del piano perpendicolare a r ed s e passante per C (0, 1, 1).
grazie
A= [1 3 0]
[3 -2 -1]
[0 -1 1]
||A|| ( con pedice 2) ?
Data una matrice fissata $B$ che appartiene allo spazio delle matrici n x n, definisco un'applicazione lineare tale che :
$ f(A) = B*A $ per ogni $ A $
Come faccio a dimostrare che $f(B)$ è isomorfismo se e solo se B é invertibile ?
Salve come da titolo ho svolto un esercizio che richiede di trovare un punto reale di una retta ma non so se il procedimento è corretto.
La retta ha equazione: $3ix_1+2x_2+ix_3=0$
Io ho messo in evidenza parte immaginaria e reale così: $i(3x_1+x_3)+2x_2=0$
Poi ho messo a sistema ed ho svolto:
$x_1=-1/3x_3$
$x_2=0$
Trovandomi: $(-1,0,3)$
Grazie.
Salve ragazzi, ho un blocco relativo a questo esercizio:
" Trova le equazioni delle superfici sferiche che verificano le condizioni indicate:
a) L'intersezione con il piano Oyz è la circonferenza $(y-2)^2+ (z+3)^2=3$; il centro ha ascissa -4;
b) L'intersezione con il piano Oxz è la circonferenza $x^2+z^2 + 2(sqrt3)x-2(sqrt2)z-1=0$; il centro è un punto di ordinata -2;
c) L'intersezione con il piano Oxy è la circonferenza $x^2+y^2-10y-11=0$; la quota è-3."
Non so da dove inizare, qualcuno può darmi qualche ...
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