Esercizietto di topologia
Buongiorno a tutti, ho il seguente esercizio in cui il testo non riporta la soluzione e vorrei verificarne la correttezza e capire, nel caso ci fossero, eventuali errori.
Svolgimento:
1)
Gli aperti con la topologia indotta sono dati da insiemi del tipo $[0,a)$, perché intersezione di intervalli $(-a,a)$ con $[0,1]$.
Se prendo un ricoprimento aperto di $J$, che chiamo $ \mathfrak(R) ={U_i}$, posso estrarre sempre un ricoprimento finito dato da ${(-1,1), J}$.
Pertanto $J$ è compatto.
2)
Il testo non riporta la topologia affianco ai due spazi: come devo interpretarlo? Io ho pensato a $J$ con la topologia $\tau$ e $S^1$ con la topologia euclidea perché non capisco che senso abbia prendere $S^1$ con la topologia $\tau$...
Quindi $f:(J,\tau) \rarr (S^1,\tau_e)$.
In questo caso non è continua perché per esempio per $t=\pi/6$ e $t=\pi/12$ trovo l'aperto $U \in S^1$ dato dall'arco di circonferenza che spazza da $\pi/6$ a $\pi/3$, la cui controimmagine è l'intervallo $(\pi/6,\pi/3) \in J$, che non è aperto nella topologia $\tau$.
3)
$J//-$ è omemorfo a $S^1$. La motivazione però non saprei come darla... insomma $S^1$ è un buon rappresentante.
Consideriamo $RR$ con la topologia $\tau$ avente come aperti non banali ${(-a,a): a>0}$. Sia $J=[0,1]$ con la topologia indotta da $\tau$.
1) Mostrare che $J$ è compatto.
2) L'applicazione $f:J \rarr S^1$, $t \mapsto (cos(2 \pi t), sen(2 \pi t))$ è continua?
3) Sia data la relazione di equivalenza $-$ che identifica $0$ con $1$. Descrivere $J//-$.
Svolgimento:
1)
Gli aperti con la topologia indotta sono dati da insiemi del tipo $[0,a)$, perché intersezione di intervalli $(-a,a)$ con $[0,1]$.
Se prendo un ricoprimento aperto di $J$, che chiamo $ \mathfrak(R) ={U_i}$, posso estrarre sempre un ricoprimento finito dato da ${(-1,1), J}$.
Pertanto $J$ è compatto.
2)
Il testo non riporta la topologia affianco ai due spazi: come devo interpretarlo? Io ho pensato a $J$ con la topologia $\tau$ e $S^1$ con la topologia euclidea perché non capisco che senso abbia prendere $S^1$ con la topologia $\tau$...
Quindi $f:(J,\tau) \rarr (S^1,\tau_e)$.
In questo caso non è continua perché per esempio per $t=\pi/6$ e $t=\pi/12$ trovo l'aperto $U \in S^1$ dato dall'arco di circonferenza che spazza da $\pi/6$ a $\pi/3$, la cui controimmagine è l'intervallo $(\pi/6,\pi/3) \in J$, che non è aperto nella topologia $\tau$.
3)
$J//-$ è omemorfo a $S^1$. La motivazione però non saprei come darla... insomma $S^1$ è un buon rappresentante.
Risposte
"feddy":
1)
Se prendo un ricoprimento aperto di $ J $, che chiamo $ \mathfrak(R) ={U_i} $, posso estrarre sempre un ricoprimento finito dato da $ {(-1,1), J} $.
Perché? Va bene farla direttamente con la definizione di compattezza, ma ti suggerisco di abituarti ad usare certe proprietà delle funzioni continue, come il fatto che l'immagine continua di compatti è compatta. La funzione identica da $\mathbb R$ euclideo in $\mathbb R$ con la topologia $\tau$ è continua?
"feddy":
2)
Il testo non riporta la topologia affianco ai due spazi: come devo interpretarlo? Io ho pensato a $ J $ con la topologia $ \tau $ e $ S^1 $ con la topologia euclidea perché non capisco che senso abbia prendere $ S^1 $ con la topologia $ \tau $...
Quindi $ f:(J,\tau) \rarr (S^1,\tau_e) $.
In questo caso non è continua perché per esempio per $ t=\pi/6 $ e $ t=\pi/12 $ trovo l'aperto $ U \in S^1 $ dato dall'arco di circonferenza che spazza da $ \pi/6 $ a $ \pi/3 $, la cui controimmagine è l'intervallo $ (\pi/6,\pi/3) \in J $, che non è aperto nella topologia $ \tau $.
Mi sembra giusto.
"feddy":
3)
$ J//- $ è omemorfo a $ S^1 $. La motivazione però non saprei come darla... insomma $ S^1 $ è un buon rappresentante.
Qui intendi ancora $S^1$ con la topologia euclidea? Che insiemisticamente tu possa pensare il quoziente come un $S^1$ è un conto, ma devi anche dire come sono fatti gli aperti.
"Trilogy":
La funzione identica da R euclideo in R con la topologia τ è continua?
Sì perché in generale l'identità è continua se la topologia dello spazio di arrivo è più fine di quella dello spazio di partenza e in questo caso lo è.
Questa caratterizzazione non la sapevo. Grazie. A dire il vero abbiamo scritto che se $f$ è omemorfismo da $X_1$ a $X_2$ allora $X_1$ compatto $<=>$ $X_2$ compatto.
"Trilogy":.
Qui intendi ancora S1 con la topologia euclidea? Che insiemisticamente tu possa pensare il quoziente come un S1 è un conto, ma devi anche dire come sono fatti gli aperti.
Sì intendevo con la topologia euclidea... in quel caso gli aperti sarebbero archi di circonferenza.
Ora che ci penso però vorrei provare a vedere $(S^1,\tau)$. Per definizione un aperto $A$ nel quoziente è tale che $\pi^(-1)(A) \in \tau$.
Se piglio un arco di circonferenza che non interseca $[0]$ allora la sua controimmagine è un intervallo del tipo $(a,b)$ in $J$ che nella topologia indotta non è aperto.
Se invece ne prendo uno contenente $[0]$ trovo un intervallo $(a,0] \uuu (b,1]$ che non è aperto
Se prendo un arco in $S^1$ da $[0]$ a $a$, allora la sua controimmagine è $[0,a) \uuu {1}$... che non mi pare aperto... a sto punto non mi pare che si sia nulla di aperto tranne ${J// - , \emptyset}$... e la topologia è quella banale (?).
Correggimi se ho detto delle assurdità
"feddy":
[quote="Trilogy"]La funzione identica da R euclideo in R con la topologia τ è continua?
Sì perché in generale l'identità è continua se la topologia dello spazio di arrivo è più fine di quella dello spazio di partenza e in questo caso lo è. [/quote]
Bene, quindi, anche a costo di suonare ovvi, diciamolo: dato che $[0,1]$ è compatto in $\mathbb R$ euclideo, è automaticamente compatto in $\tau$.
"feddy":
[quote="Trilogy"]Qui intendi ancora S1 con la topologia euclidea? Che insiemisticamente tu possa pensare il quoziente come un S1 è un conto, ma devi anche dire come sono fatti gli aperti.
Sì intendevo con la topologia euclidea... in quel caso gli aperti sarebbero archi di circonferenza.
Ora che ci penso però vorrei provare a vedere $(S^1,\tau)$. Per definizione un aperto $A$ nel quoziente è tale che $\pi^(-1)(A) \in \tau$.
Se piglio un arco di circonferenza che non interseca $[0]$ allora la sua controimmagine è un intervallo del tipo $(a,b)$ in $J$ che nella topologia indotta non è aperto.
Se invece ne prendo uno contenente $[0]$ trovo un intervallo $(a,0] \uuu (b,1]$ che non è aperto
Se prendo un arco in $S^1$ da $[0]$ a $a$, allora la sua controimmagine è $[0,a) \uuu {1}$... che non mi pare aperto... a sto punto non mi pare che si sia nulla di aperto tranne ${J// - , \emptyset}$... e la topologia è quella banale (?).
[/quote]
Anch'io penso che sia la topologia banale, l'avevo visto in modo poco diverso. Proprio come hai scritto, per trovare un $A$ aperto nel quoziente dobbiamo guardare quando $\pi^{-1}(A)$ sta in $\tau$. A parte l'aperto $\emptyset$, tutti gli elementi di $\tau$ contengono $0$, quindi anche tutti gli insiemi della forma $\pi^{-1}(A)$ contengono $0$, per gli $A$ che stiamo cercando. Ma visto che $0$ e $1$ vanno nello stesso punto di $S^1$, tutti questi $\pi^{-1}(A)$ devono contenere anche $1$, e l'unico aperto così è $[0,1]$.
Grazie mille per la risposta 
A dire il vero però ho una domanda sulla punto 1). Io so (o almeno così ho studiato quest'anno) che se $f: X_1 \rarr X_2$ è continua e suriettiva e $X_1$ compatto, allora $X_2$ compatto. Per come hai scritto te all'inizio non vedevo citata la suriettività. Ovvio che l'identità la soddisfa e quindi va tutto bene... ma in generale mi sembra vada chiesta altrimenti non riesco a estrarre un ricoprimento...
A dire il vero però ho una domanda sulla punto 1). Io so (o almeno così ho studiato quest'anno) che se $f: X_1 \rarr X_2$ è continua e suriettiva e $X_1$ compatto, allora $X_2$ compatto. Per come hai scritto te all'inizio non vedevo citata la suriettività. Ovvio che l'identità la soddisfa e quindi va tutto bene... ma in generale mi sembra vada chiesta altrimenti non riesco a estrarre un ricoprimento...
Infatti l'immagine continua di compatti è compatta. È equivalente dire, supponendo che la funzione sia suriettiva, il codominio o l'immagine. E d'altra parte ogni funzione è suriettiva sull'immagine.
Certo, tutto chiaro ora
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