Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buon pomeriggio,
mi spiace fare una domanda così vaga ma non riesco a trovare nessuna spiegazione chiara a riguardo. Non riesco nemmeno ad abbozzare uno svolgimento.
In un esercizio ho calcolato centro e raggio della sfera
$S: x^2+y^2+z^2 -4x -2y +4z=0$
$C(2,1,-2)$, raggio=3.
Ora però mi viene chiesto di trovare raggio e centro della circonferenza data dall'intersezione con $alpha:x+y-z-1=0$
In più posto $pi: x+y-z+h=0$ devo trovare $h$ tale che il piano $pi$ sia ...
Ciao a tutti, volevo solo una conferma sullo svolgimento di questo esercizio :
$A$ =$((h,0,1,h),(0,2,0,h^2+1),(1,0,h,0),(0,0,0,h))$
Data la seguente matrice, stabilire per quali valori di $h in RR$ ha rango 3, ha rango 2, ha rango 1
Il determinante della matrice $A$ si annulla per $h = 0$ e $h =+-1$
Per il rango 3 ho considerato la sottomatrice : $A'$ = $((h,0,1),(0,2,0),(1,0,h))$ , il cui determinante si annulla per $h = +-1$
Dunque trovo che la matrice ...
Salve a tutti vorrei il vostro aiuto per capire meglio questa dimostrazione,è molto breve ma qualche punto non mi è chiaro
L'enunciato dice che :
Siano v e w due vettori liberi non nulli,allora essi sono paralleli non nulli se esiste uno scalare non nullo tale che $v =λw$.
per la dimostrazione ho quella diretta e il viceversa.
=>(DIRETTA)
-Ipotesi : $v =λw$ con λ uno scalare non nullo
-Tesi : v e w sono paralleli
Questa è una conseguenza ovvia della tesi,dato che se vale ...
Definita la matrice seguente:
$A=((1,1,1),(1,1,0),(2,0,1))$
Come calcolo la matrice aggiunta?
Per definizione la matrice aggiunta dovrebbe essere la matrice che si ottiene facendo la trasposta della matrice di partenza e poi sostituendo ad ogni elemento, il suo complesso coniugato.
Quindi la matrice trasposta della matrice $A$, cioè $A^(T)$, è data da:
$A^T=((1,1,2),(1,1,0),(1,0,1))$
Essendo una matrice con tutti valori reale, la matrice aggiunta della matrice $A$ di partenza ...
Ciao a tutti volevo sapere come risolvere qst esercizio perchè mi stò scervellando ho questa matrice e devo calcolarmi gli autovalori ma senza utilizzare il polinomio caratteristico come faccio???
3 -2
-2 0
Ciao a tutti. Sono alle prese con un problema che chiede di mostrare che il piano e il cono dato dall'equazione :
$ x^2 + y^2= z^2 $ con z>0
sono localmente isometrici. Il problema mi chiede quindi di dimostrare che esiste un'isometria locale tra le due superfici.
Ora, ho seguito l'esempio dell'isometria tra piano e cilindro.
In quel caso si pone ad esempio : $ f(t,theta,0)=(costheta, sin theta, t) $
ed è facile mostrare che è isometria locale.
Il problema è che se svolgo la cosa allo stesso modo per il cono, ...
Ciao, mi servirebbe un piccolo aiuto per questo esercizio :
Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali e, in caso affermativo, determinarne la dimensione ed una base.
$W_1 = {(0,0),(-1,1),(5,-5)} \in R^2$
$W_2 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1^2 + x_2 - x_3 = 0}\ \in R^5$
$W_3 = {(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1 + x_2 - x_3 = x_4 - 3x_5 = 0} \in R^4$
Io so solo che un sottospazio vettoriale è un sottospazio in cui valgono le operazioni di chiusura rispetto alla somma e ad uno scalare, ma non so come dimostrarlo (soprattutto per $W_2 e W_3$), mi date una mano?
Salve,studiando ,mi so ritrovato davanti a un concetto che non ho ben capito,cioè quello di boundary point(il termine non lo so tradurre) di un insieme,il mio dubbio è che non capisco come determinare se un insieme sia o meno denso,partendo da questa definizione:
"Un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $X$ è detto denso in $X$ se e solo se,l'unione di $S$ e di tutti i suoi boundary point sono uguali a $X$"
Vi faccio un ...
Ciao a tutti. Avrei la seguente domanda: dati $n$ punti nel piano (euclideo) come posso dimostrare che esiste (oppure fornire un contro esempio che dimostri che non sempre esiste) un poligono semplice (cioè non intrecciato) che li unisca (Anche non di $n$ lati, o di $n$ lati se è quello il cas interessante) ? Allora secondo me esiste e ho cercato di produrre una dimostrazione. Ho iniziato per induzione e mi perdevo nei formalismi, pertanto non sono ...
Salve,dopo aver studiato un po di teoria,stavo incominciando a fare gli esercizi,ma non ho idea di come risolverli
Il primo esercizio è questo:
"Preso $Y$ esser uno spazio metrico completo e $X$ uno spazio metrico.Preso $A$ un sottoinsieme di $X$.Preso
$f:A->Y$ essere una funzione,che è uniformemente continua.Preso \( \overline{A} \) essere la chiusura di $A$ in $X$.Mostra che esiste un'unica ...
Ciao a tutti, non so se il titolo è troppo generico ma non riuscivo a essere più specifica
A breve dovrò dare l'esame di geometria e algebra e, per prepararmi meglio, ho deciso di svolgere le ultime prove d'esame del mio professore... con questa domanda non chiedo la risoluzione di un esercizio in particolare, lo porto come esempio per far capire più chiaramente il mio problema.
Partendo dal presupposto che al liceo non ho avuto un prof di matematica per il 90% del tempo, quindi parto da ...
Salve a tutti,
circa la matrice ridotta $ ( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
è giusto che il sistema associato sia $ { ( x = l ),( y = m ),( z = q ),( t = q ):} $ con $ l, m, q$ reali??
Grazie.
Ho dubbi sulla correttezza del seguente esercizio:
Data la funzione lineare $f(bar(x))=Abar(x)$ con
$ A=[ ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) ] $
determina l'insieme di definizione e di arrivo della funzione $f$.
Calcola la dimensione ed una base del sottospazio immagine $Im[f]$ e del sottospazio kernel $Ker[f]$.
1. Gli insiemi di definizione e di arrivo sono, rispettivamente, $f:R^3->R^4$
2.1. Per la dimensione del sottospazio immagine ho:
$dim(Im[f])=R(A)->A=[ ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) ]->det| ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ) |=0; det | ( 2 , 0 , -4 ),( -1 , 2 , 1 ),( -1 , 5 , 8 ) |=34!=0->R(A)=3 rArr dim(Im[f])=3$
2.2. La base del ...
Salve,
avrei un dubbio riguardante gli endomorfismi simmetrici.
La definizione (una delle definizioni) di endomorfismo simmetrico è:
dato $f in End(V)$, $f$ si dice simmetrico se $(f(\ul u),\ul v) = (\ul u,f(\ul v))$ $AA \ul u, \ul v in V$
Facendo un esercizio mi è venuto in mente.. ma questa condizione, non è per caso equivalente alla stessa condizione, ma ristretta ad una base qualsiasi di $V$?
Così ho provato a vedere se funzionava
1) Ovviamente, se vale per ogni coppia di vettori ...
Apparentemente banale come esercizio ma ho paura di sbagliare nella formalizzazione matematica (e non solo).
L'esercizio è il seguente:
Determina il sottospazio $S$ di $R^3$ generato dai vettori $bar(u)=[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ]$ , $bar(v)=[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 0 ) ]$ e $bar(w)=[ ( 3 ) , ( 6 ) , ( 2 ) ]$.
Quindi calcola una base di $S$.
1. Il sottospazio vettoriale di $R^3$ è:
$S={bar(y) in R^3 : bar(y)=alphabar(u)+betabar(v)+gammabar(w), alpha,beta,gamma in R}={bar(y) in R^3 : bar(y)=alpha[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ]+beta[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 0 ) ]+gamma[ ( 3 ) , ( 6 ) , ( 2 ) ]}$
2. La base è
$S(bar(y))={bar(y) in R^3 : bar(y)=alpha[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 1 ) ]+beta[ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 0 ) ]}$dato che
$ A=[ ( 1 , 1 , 3 ),( 2 , 2 , 6 ),( 1 , 0 , 2 ) ] [ ( alpha ) , ( beta ) , (gamma ) ]=[ ( 0 ) , ( 0 ) , ( 0 ) ]->det| ( 2 , 2 ),( 1 , 0 ) | !=0->R(A)=2 $
E' giusto? Se sì, sono corrette ...
Il testo dice prima di trovare la retta AB ricavata dai punti
$ A=(-1,2,-2) $ e $B=(1,2,2)$ e trovo quindi $y=2;z=2x$, e la seconda retta CD la ricavo dai punti $C=(2,1,2)$ e $D=(2,2,1)$, trovando $x=2;y=3-z$. Verifico che sono sghembe, usando il determinante però poi il problema mi chiede di trovare le equazioni dei piani paralleli alfa,beta contenenti rispettivamente le rette AB e CD. Ora qui non saprei come procedere, stavo pensando al fascio di piani ma non ...
Ciao a tutti, ammesso che il mio svolgimento sia corretto, non riesco a trovare un omeomorfismo per concludere. Ecco la traccia
Sia $X=[0,1] uuu [2,3]$ e $Y=[0,1]$ con la topologia indotta da quella euclidea. Consideriamo la relazione di equivalenza $~ $ su $X$ tale che $ x ~ y <=> x=y " o " {x,y}={1,2}$.
Verificare che $X//~ $ è omeomorfo a $Y$
Soluzione
Per prima cosa ho cercato di capire come è fatto l'insieme quoziente: ...
Salve, sono alle prese con un esercizio che dà l'equazione della conica : $x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-5x_1x_3+7x_2x_3$
Ovviamente trovo che è un ellisse.
Un punto dell'esercizio mi dice di calcolare il polo P della retta di equazione $(1+i)x_1+(-2+i)x_2+(-7+2i)x_3=0$
Io ho trovato due punti sulla retta imponendo una volta $x_3=0$ e una volta $x_2=0$ ho trovato le rette polari di questi punti e le ho intersecate ma non mi trovo con il risultato. A me viene $(i+1,+2,0)$ invece di $(i,-1+i,0)$
Grazie per ...
Buonasera,
questo è il mio primo messaggio sul forum.. speriamo di non fare errori.
Ho un dubbio su un esercizio riguardante il polinomio caratteristico di una matrice.
Sia $p(t)=-t^3+at^2-bt+c$. Costruire una matrice A t.c. $\chi_A(t)=p(t)$. Generalizzare a matrici n x n.
Facendo diversi tentativi, sono giunto a questa matrice:
$((a,b,c),(-1,0,0),(0,-1,0))$
Sono partito considerando il fatto che la traccia della matrice dovesse valere $a$; ho quindi messo $a$ sulla diagonale ...
Avendo un problema agli autovalori (-w+[A]){x}={0}, quale caratteristica in particolare deve avere la matrice A di dimensioni nXn affinchè il polinomio caratteristico della matrice A abbia esattamente n radici distinte e positive?
Esiste qualche fondamento teorico a questo quesito?
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