Esercizio su aggiunta e polinomio caratteristico
Buon pomeriggio! Ho delle difficoltà nell'affrontare questo esercizio:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia $varphi in PS(V)$ un prodotto scalare non degenere su V. Sia $f in End(V)$ e sia $W sub V$ un sottospazio f-invariante. Indichiamo con $f^(*)$ l'aggiunta di f rispetto a $varphi$. Dimostare che:
1) $(W)^(bot)$ è $f^(*)$-invariante
2) il polinomio caratteristico di $f^(*)$ ,ristretto a $(W)^bot$ divide il polinomio caratteristico di f
3)Se $varphi$ ristretto a W è non degenere, allora il polinomio caratteristico di f è il prodotto del polinomio caratteristico di f ristretto a W e del polinomio caratteristico di $f^(*)$ ristretto a $(W)^bot$
Io ho svolto il primo punto cosi:
Sia $w in W^(bot)$, ovvero $varphi(w,v)=0 AA v in W$ Considero ora $f^(*)(w)=varphi(f^(*)(w),w)$ e poichè è l'aggiunta si ha
$=varphi(w,f(w))$. Ora $f(w) in W$ perchè W è f-invariante, dunque il prodotto scalare è nullo, ovvero $f^(*)(w)in W^bot$. Da qui l'invarianza. Qualche errore?
Poi per i polinomi caratteristici avevo iniziato a considerare qualche matrice prendendo basi di W e W ortogonale e calcolare i determinanti ma non sono arrivato a nessuna conclusione
"Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia $varphi in PS(V)$ un prodotto scalare non degenere su V. Sia $f in End(V)$ e sia $W sub V$ un sottospazio f-invariante. Indichiamo con $f^(*)$ l'aggiunta di f rispetto a $varphi$. Dimostare che:
1) $(W)^(bot)$ è $f^(*)$-invariante
2) il polinomio caratteristico di $f^(*)$ ,ristretto a $(W)^bot$ divide il polinomio caratteristico di f
3)Se $varphi$ ristretto a W è non degenere, allora il polinomio caratteristico di f è il prodotto del polinomio caratteristico di f ristretto a W e del polinomio caratteristico di $f^(*)$ ristretto a $(W)^bot$
Io ho svolto il primo punto cosi:
Sia $w in W^(bot)$, ovvero $varphi(w,v)=0 AA v in W$ Considero ora $f^(*)(w)=varphi(f^(*)(w),w)$ e poichè è l'aggiunta si ha
$=varphi(w,f(w))$. Ora $f(w) in W$ perchè W è f-invariante, dunque il prodotto scalare è nullo, ovvero $f^(*)(w)in W^bot$. Da qui l'invarianza. Qualche errore?
Poi per i polinomi caratteristici avevo iniziato a considerare qualche matrice prendendo basi di W e W ortogonale e calcolare i determinanti ma non sono arrivato a nessuna conclusione
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