Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
Giovedì 20 luglio ho sostenuto il test TOLC I presso l'università di Firenze. L'ho superato agilmente (35/40), però non sono riuscito a venire a capo ad una domanda delle 20 di matematica, che per non rischiare di perdere 1/4 di punto ho deciso di lasciare vuota.
La domanda era formulata più o meno nel seguente modo: Qual è il minimo numero di triangoli in cui si può suddividere un poligono regolare di 100 lati?
mi ricordo 4 dell 5 risposte che il testo forniva: 2, 98, 90, 200 ...
Ho un esercizio che dice:
Sia A la dilatazione che associa ad ogni vettore x in R^3 il vettore 3x Allora:
A. Nessuna delle seguenti
B. Ha autovalori -1 e 1
C. Non ha autovalori reali
D. ha l'autovalore triplo 3 e autospazio R^3
E. ha autovalori 0, 1, 3
Intanto come faccio a scrivere quella dilatazione sottoforma di matrice?
E poi per il calcolo degli autovalori devo fare A-lambda*matrice identità e calcolarne il determinante giusto? E trovo i valori di lambda.
Mentre per gli autospazi come si ...
Buonasera a tutti, ho qui questo (lungo) esercizio sui sottospazi polinomiali :
Si considerino i seguenti vettori dello spazio vettoriale $RR[x]$
$f(x)=x^5+2x^6-x^8$
$g(x)=x^6+3x^8$
$h(x)=2x^5+5x^6+x^8$
$k(x)=2g(x)=2x^6+6x^8$
Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (motivando la risposta)
$1)\ 2f(x)+g(x)-h(x)$ è il polinomio nullo
$2)\ f(x)$ e $h(x)$ sono linearmente dipendenti
$3)$ Ciascuno dei vettori $f(x), g(x),h(x)$ può essere espresso come ...
Oggi dopo aver studiato il capitolo riguardo al rango, mi sono dedicato a fare alcuni esercizi "banali" del mio libro.
Mi è sorto questo dubbio:
il libro definisce "rango" il numero massimo di righe/colonne linearmente indipendenti, senza però prima specificare come verificare l'indipendenza di riga o colonna.
Se qualcuno mi sapesse spiegare come verificarlo o mi sapesse dire che ciò di cui parlo e' una cosa che non ha senso di verificare,sarei già molto sollevato.
Mi interessava questo ...
Ho un dubbio sull'ultimo punto di questo esercizio:
Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica Ck (al variare del parametro reale k) di equazione:
$kx^2 + 2xy + (k + 2)y ^2 − 2y = 0$
1)Stabilire se esistono valori di k per cui la conica è degenere e classificarla.
2)Determinare il tipo di conica al variare del parametro k.
3) Scrivere la forma canonica per k = −1.
Io volevo procedere ruotando la conica e poi traslandola, però il testo non richiedete questo(come specificato dalla ...
Salve ragazzi dobbiamo ruotare un piano attorno ad un asse, in base ad un determinato angolo gamma.
L'asse su cui deve ruotare il pano è l'asse \[y\].
E' giusto porre:
\[\begin{pmatrix} \\ {x}' \\ {y}' \\ {z}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & & \\ cos(\gamma) & & 0 & & sen(\gamma) & & \\ 0 & & 1 & & 0 & & \\ -sen(\gamma) & & 0 & & cos(\gamma) \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]
Ora
\[\begin{pmatrix} \\ {x}' \\ {y}' \\ {z}' \end{pmatrix}\]
dovrebbero essere le ...
Salve ragazzi, vorrei un'opinione sulla risoluzione di questo esercizio:
"determinare l'equazione della circonferenza C tangente in P(2,-3) alla retta 2x+y=1 e passante per il punto (2,1)"
Io per risolvere ho fatto un sistema a 3 condizioni:
1) Passante per il punto (2,1), ovvero sostituendo alla eq della circonferenza x e y con questi punti
2)Tangente in (2,-3), beh se è tangente allora passa per quel punto no? Come sopra ma passante per (2,-3)
3) Tangenza a retta 2x+y=1, ho messo a sistema ...
Salve, ho un problema con una proposizione che è stata scritta dal prof, ma di cui non si capisce nulla :
Sia $V$ finitamente generato e sia $dimV=n$, Allora :
i) $T$ è indipendente $=> |T| <= n$
ii) $T$ è indipendente e $|T|=n => T$ è una base
iii) $|T|=n$ e $<T>=V => T$ è una base
Queste sono le dimostrazioni :
i) Per assurdo : $T = {v_1...v_m}$ ,$m>n$
$T->T0$ $,|T|<= |T0| = dimV$ dunque ...
Buon pomeriggio a tutti, vorrei chiedere dei chiarimenti su quest'esercizio oggetto di esame:
" Siano $A=((3 ,1),(−1, 2))$ e $B=((2, 1),(0 ,−1))$ due matrici di $M_2(RR)$ .
Siano $U = {X in M_2(RR) : AX = XA}$ e $W =((a, b),(c, d )) in M_2(RR) : 2a + 3d = 0$.
1) Verificare che U è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$; determinare una base e la dimensione di U e W.
2)Calcolare $U ∩W $e $U +W$ e determinarne una base e la dimensione. $U ∪W$ è un sottospazio vettoriale di $M_2(RR)$?
3) ...
Ciao a tutti, sto preparando l'esame di Geometria 2.
vi sottopongo il seguente esercizio
Data la curva affine di equazione y^4 = x^3 -xy^2
1) dimostrare che è irriducibile nei complessi;
2) determinare le sue singolarità;
3) dire se si tratta di una curva razionale.
grazie mille
Sia V=$R_3$[x]={$a_0$+$a_1$x+$a_2x$+$a_2x^2$+$a_3x^3$ $ | a_i$ appartenente ad R} lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado al più 3. Considerati U e W sottospazi di V:
U=L(1+$x^2$,1+x) e W=L(x-$x^2$,1+$x^2$)
Ecco, allora io vorrei sapere quando in una traccia trovo la dicitura "al più tre, che significa? Io ho pensato che le basi possono avere "grado" al massimo 3 ma possono ...
Sia $RR^n/ZZ^n$ dotato della topologia quoziente indotta dalla topologia euclidea e $f:RR^n/ZZ^n->RR^n/ZZ^n$ l'applicazione definita da $f(x)=Mx$ con $M$ matrice quadrata di dimensione $n$ a valori in $RR/ZZ$. Per quali matrici $M$ la funzione è continua?
Se non mi sbaglio $RR^n/ZZ^n$ è omeomorfo a $S^1 xx S^1 xx ... xx S^1$ e forse devo applicare questo risultato, non saprei.
Salve ragazzi , mi chiamo Tomas e ho un problema , devo trovare la base per il sottospazio generato da questi vettori {[1,0,0] , [1,0,1] , [0,0,2]}
il determinante mi esce zero applicando saurus , qualcuno riesce ad aiutarmi magari fornendomi i vari passaggi?
salve ho due rette r ed s di equazioni :
$\r:{(x + y = 1),(x + z = 1):}$
$\s:{(x - hy = h),(x - z = h):}$
devo studiare la posizione relative di s ed r al variare del parametro h
chi sa aiutarmi?
N.b: scusate se ho scritto cosi male le equazioni ma ancora non so comporre le formule , comunque s ha due equazioni all'interno di una graffa , stessa cosa per r
Buongiorno sapreste aiutarmi con questo quesito ?Esagono e triangolo equilatero hanno lo stesso perimetro, qualè il rapporto tra le loro aree?
ho due punti, $ P1 = (1,2,3) $ e $ P2 = (4,5,6) $ . devo ricavare la retta passante per i due punti.
immagino sia banale come soluzione, io purtroppo so come risolvere un problema analogo in R2 (cioe con l'equazione $ (y-y0)/(y1-y0) = (x-x0)/(x1-x0) $ . in R3 pero' non so come muovermi (dovete avere pazienza con me, ho fatto una scuola superiore inutile e quindi ho uno scarso background, ma mi impegno ) e purtroppo non ho trovato svolti esercizi analoghi. ringrazio anticipatamente chiunque intervenga in ...
Studiando e cercando di fare gli esami di calcolo numerico mi sono imbattuto in questo esercizio che non capisco bene come dovrei risolvere:
L'esercizio parte dandomi una funzione f(x) e mi chiede di calcolare il polinomio interpolante nella forma di newton
da opportuni calcoli (che non vi scrivo) ottengo da $ f(x)=(x-1)/(x+2) $ e con i punti \(\displaystyle P_0=(-1,f(-1)),P_1=(0,f(0)),P_2=(1,f(1)) \) il polinomio $ p_t(x)=-2+3/2(x+1)-1/2(x+1)(x) $
l'esercizio dice:
scrivi la formula dell'errore ...
$ varphi _k(e_1)=ke_1+e_2-e_3,varphi _k(e_2)=e_2+3e_3,varphi _k(e_3)=4e_2+2e_3 $
Ma la matrice$A_k$ associata a $ varphi _k $ di un'applicazione lineare di questo tipo si scrive sempre come:
$ ( ( k , 1 , -1 ),( 0, 1 , 3 ),( 0 , 4 , 2 ) ) $
è sbagliato?
Salve, ho dei dubbi su questa tipologia d'esercizi.
Se ho le equazioni di due fasci di piani aventi per asse due rette r1 ed r2 di cui vengono riportate le equazioni in forma cartesiana e parametrica come determino un piano comune ai fasci F1 ed F2?
Ho gia trovato le equazioni dei fasci portando la seconda retta in forma cartesiana ed utilizzando il classico modo con $lambda$ e $mu$ per trovare le equazioni dei fasci e fin qui credo sia ok.. poi?
Nello studio delle varietà differenziabili, solitamente ci si concentra soprattutto su quelle che sono per lo meno di Hausdorff e a base numerabile, alle quali si può applicare il https://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem, quindi in particolare la loro cardinalità sarà quella del continuo, e basandosi sulla definizione si esclude facilmente la possibilità che una varietà abbia cardinalità minore del continuo, ma maggiore può averla?
Ci ho pensato un po' e l'unica cosa che mi è venuta in mente è che non può ammettere ...
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