Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Nello studio delle varietà differenziabili, solitamente ci si concentra soprattutto su quelle che sono per lo meno di Hausdorff e a base numerabile, alle quali si può applicare il https://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem, quindi in particolare la loro cardinalità sarà quella del continuo, e basandosi sulla definizione si esclude facilmente la possibilità che una varietà abbia cardinalità minore del continuo, ma maggiore può averla?
Ci ho pensato un po' e l'unica cosa che mi è venuta in mente è che non può ammettere ...
Qualche giorno fa mi sono inventato un esercizio di topologia e ve lo illustro: "trovare uno spazio topologico che non può essere omeomorfo a un qualsiasi quoziente di un qualsiasi sottospazio di $RR^n$", ma così è un po' troppo facile infatti basta prendere uno spazio con cardinalità maggiore di quella del continuo, oppure avevo pensato anche ad uno non paracompatto, infatti qualsiasi sottospazio di $RR^n$ (essendo metrico) è paracompatto, e immagine continua e aperta ...
Non riesco a capire come si ricava la formula per il calcolo della norma del vettore proiezione $u$ nella direzione di $v$ cioè:
$|P_vu|=|uv|/|v|$
come salta fuori?
Questo lo capisco $P_vu=(uv)/|v|^2v$ ma come salta fuori la norma non ho ben compreso.
Grazie
Buongiorno a tutti, ho il seguente problema (per la verità standard). I miei dubbi risiedono più che altro nei procedimenti:
vorrei sapere se in (i) esiste un modo alternativo
E se in (iii) e (iv) la strada è effettivamente quella oppure può essere accorciata.
Sia $C$ una curva parametrizzata da $\sigma(t)=(cos(t),sen(2t))$, $t \in (0,2 pi)$.
(i) Determinare i punti di flesso di $C$.
(ii) Determinare le tangenti a $C$ in $(0,0)$.
(iii) ...
Sia $S={1-x^2,x-x^3,1-x,x+x^2}$ , determinare il rango del sistema di vettori di S. Sia $W=<S>$. Caratterizzare $W$
Come procedo? Per caratterizzare cosa si intende?
Ho individuato il rango di S, ed è il rango massimo quindi S è una base di $R_3[x]$. Quindi W sarebbe tutto S? E per la caratterizzazione?
Altra cosa, due sottospazi sono supplementari se sommati danno tutto lo spazio vettoriale, giusto?
Oggi ho provato a risolvere il seguente esercizio, di cui non conosco la soluzione:
Testo
Sia $\tau$ la famiglia di sottoinsiemi di $RR^2$ formata dal vuoto e da ogni sottoinsieme costituito da $RR^2$ meno un numero finito di rette e punti.
(1) Dimostrare che $\tau$ è una topologia su $RR^2$
(2) Stabilire se $(RR^2, \tau)$ è $T_0,T_1,T_2$.
(3) Stabilire se l'insieme $C={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2<1}$ è ...
Ciao a tutti, voglio solo che diate un'occhiata a questo esercizio che ho risolto, per verificare (almeno) l'esattezza del procedimento
Per ogni $h\in RR$ sia $F_(Ah)$ l’applicazione lineare determinata dalla matrice :
$A_h = ((2,0,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,h))$
1) Per quali valori del parametro $h$ risulta $dim(Ker(F_(Ah))) = 1?$ Determinare in questo caso una base per il nucleo dell’omomorfismo.
2) Trovare due vettori distinti di $RR^4$ che abbiamo come immagine ...
Come faccio ad individuare la retta di minima distanza tra due rette sghembe?
So come trovare la minima distanza, ovvero costruendo un piano contenete una delle due rette ed parallela all'altra. Poi scegliendo un punto appartenente alla retta a cui il piano è parallelo, individuo la distanza tra punto e piano tramite la formula: $d(P,\pi)=|(ax_o)+(by_o)+(cz_o)+d|/(|v_\pi|)$
Il mio dubbio sta come individuare la retta di minima distanza. Come posso fare?
Ciao a tutti,
ho un esercizio da proporvi, per il quale non sono pienamente convinto del procedimento che ho utilizzato per risolverlo. Se qualcuno potesse confermare o, eventualmente, confutare, gliene sarei molto grato.
Siano $alpha, beta$ appartenenti a $R$, e $b: R^2 X R^2 -> R$ una forma bilineare definita da:
$b(x,y)= 2x(1)y(1) + alpha x(1)y(2) + 4(beta - alpha)x(2)y(2)$; per ogni $x,y$ appartenenti a $R^2$
Il quesito chiede di determinare per quali $alpha, beta$ l'applicazione ...
BUONGIORNO
vi scrivo la traccia dell esercizio e i pezzi da svolgere..io ne ho risolto solo metà l altro non riesco a capire il procedimento
TRACCIA:
$ E ^2 $
$ r :{ ( x=1+2t),( y=-1+t):} $
$ r= L(P <span class="b-underline">) $
DETERMINARE PUNTO DI S E UNA COPPIA DI NUMERI DIRETTORI. PER TROVARE P DI T=0
p=(1,-1) $ \in $ r coppia di numeri direttori U=(2,1)
io lho risolto cosi
$ [ ( x-1 , y+1 ),( 2, 2) ] =0 $
$ x-1-2y-2=0 $
$ r:x-2y=3 $
poi mi chiede di determinare la retta s passante per ...
Salve a tutti, ho un dubbio su questi due esercizi.
1) "Nello spazio affine euclideo di dimensione 3, nel quale è fissato un riferimento ortonormale, sono date le rette $r \{ (x = z),(y = 1):}$ e $s \{ ( x =\lambda ),(y = 1 + \lambda),(z = 1 + \lambda):}$ Dopo aver verificato che r ed s sono sghembe, determinare la sfera avente per diametro il segmento di minima distanza tra r ed s.
2)Nello spazio affine euclideo di dimensione 3 sono dati il piano $ σ : x+z−1 = 0 $e la retta $ r \{(x = −1),(y = −z):}$ rappresentati in un riferimento ortonormale. Dopo ...
ciao a tutti. non sono sicuro che sia questa la sezione più corretta, se fosse sbagliata vi prego allora di spostarla.
come da titolo mi servirebbe la formula per il calcolo del fuoco di un paraboloide di rotazione. il dubbio nasce da un esame di meccanica razionale nel quale dato un punto vincolato a stare su un paraboloide di rotazione con concavità verso l'alto e ad asse verticale, c'è una molla che collega il punto al fuoco di questo paraboloide appunto.
qualcuno saprebbe sciogliere questo ...
Buongiorno a tutti!
Ho f che è endomorfismo di R3 ed è canonicamente associato alla seguente matrice:
$ A=( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
e devo dire se è diagonalizzabile.
Io l'ho pensata in questo modo:
E' una matrice simmetrica, quindi è diagonalizzabile.
Può andare come ragionamento?
Si consideri la curva biregolare $\gamma: [a,b] \rarr RR^3$, parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco, sulla superficie della 2-sfera $\mathbb{S}^2$ di raggio $r>0$.
Mostra che la curvatura $k(s)$ di $\gamma$ è in modulo maggiore o uguale a $1/r$.
Non saprei proprio come approcciarmi all'esercizio. Da quello che ho capito la curva sta proprio sulla superficie della sfera centrata nell'origine. Intuitivamente, il raggio di ...
Ciao a tutti,
vorrei essere certo della correttezza (del procedimento) del seguente esercizio.
Sia $\sigma: RR \rarr RR^3$, $\sigma(t)=(t,t^2,sin(t))$. Determinare il piano osculatore di $\sigma$ nell'origine.
Sol.:
Per definizione il piano osculatore è quel piano passante per $\sigma(s)$ e parallelo al piano generato dai vettori $\mathcal(t), \mathcal(n)$, che sono rispettivamente il versore tangente e quello normale.
Ho quindi pensato di ricavarmi questi due usando la ...
Buongiorno a tutti!
Riscontro notevoli difficoltà nel riuscire ad applicare il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Come faccio a capire qual è la strada da seguire? Esiste una procedura standard per riuscire ad utilizzare questo metodo?
Un esempio, ho questo sistema :
$\{ (2 x_1 + 5 x_2 + 4 x3 - x4 = 3),(x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 + x_4 = -1),(4 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 -2 x_4 = -6),(-2 x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 3):}$
Ho provato a risolverlo più volte, ogni volta con risultati diversi. Qualche suggerimento per affrontare sistemi del genere'
Correggetemi se sbaglio ma da quel che ho letto ho capito che:
si definisce spazio vettoriale o lineare un insieme dove è definita la somma, il multiplo, l'elemento neutro e quello opposto dove valgono alcune proprietà che costituiscono gli assiomi (p.e. la proprietà commutativa, distributiva, associativa, ...)
Se non sbaglio $R^n$ dovrebbe essere uno spazio vettoriale, giusto?
Leggo che $R^n$ possiede anche una struttura metrica oltre quella lineare, per lineare si ...
Salve!
Il mio professore ha messo questo esercizio in uno dei suoi compiti ma sinceramente non so come risolverlo :
Siano dati in R^4 i vettori v1=(-2,0,-2,0), v2=(2,h,2,h) e v3=(1,1+h,1,2h) con h ∈ R.
Sia W=L(v1,v2,v3):
a) Trovare dimW e una base di W al variare di h;
b) Scegliere un valore di h per cui v1,v2,v3 risultino linearmente indipendenti e completare l'insieme v1,v2,v3 a una base di R^4.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille in anticipo.
Ciao ragazzi. Apro questo post non per risoluzione di esercizi ma per un consulto. In questo periodo sto ripassando esercizi vecchi della matematica di base ma sto iniziando ad avvicinarmi a quello che realmente studierò all'università ( facoltà di chimica ) . Ho comprato il libro proposto dal docente ( Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare di bramanti ) e sto iniziando a vedere le matrici . Quali punti fondamentali dovrei affrontare di algebra lineare ?
Riformulo la domanda ...
Ciao a tutti,
forse una domanda banale, ma perchè una matrice costituita da vettori linearmente dipendenti è detta singolare ?? So che sono matrici che se associate ad applicazioni lineari non restituiscono un'unica soluzione, ma perchè si dicono proprio 'singolari' ?
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