Simmetria ed isometria

[kika_17]

Ciao a tutti, stavo cercando di risolvere questo esercizio ... ma non sono sicura di ciò che ho fatto e mi sono bloccata... qualcuno potrebbe aiutarmi per favore? grazie mille

" Nello spazio vettoriale Euclideo $V = (RR^4 , <,> )$, dove <,> indica il prodotto scalare std, si consideri la famiglia di endomorfismi $f_a in End(V)$, con $a$ parametro reale, tali che :

$f_a ((x),(y),(z),(w)) = ((ax+w),(y+a^2 z),(y+az),(a^2 x+w))$

1) determinare i valori del parametro reale $a$ che rendono $f_a$ simmetrica.
2) Esistono valori di $a$ per cui $f_a$ è un'isometria? "

1) per risolvere il primo punto, ho trovato la matrice $A$ associata all'endomorfismo, ho trovato la trasposta e ho detto che per essere simmetrico la matrice A deve essere uguale alla trasposta ... è corretto? in questo caso mi esce a= 1, a =-1.

2) so che isometria significa = , quindi -in matrici- significa che A per la sua trasposta è uguale all'identità?

[cooper1]

"kika_17":1) per risolvere il primo punto, ho trovato la matrice A associata all'endomorfismo, ho trovato la trasposta e ho detto che per essere simmetrico la matrice A deve essere uguale alla trasposta ... è corretto? in questo caso mi esce a= 1, a =-1.

mi sembra corretto, pur di lavorare in $RR$ come in questo caso ed aver preso come base una base ortonormale.

"kika_17":2) so che isometria significa = , quindi -in matrici- significa che A per la sua trasposta è uguale all'identità?

in generale vale che è l'aggiunto per la matrice ad essere uguale all'identità.
se però si lavora con spazi di dimensione finita e la matrice rappresentativa di A è rispetto ad una base ortonormale, allora esiste un teorema che assicura che l'aggiunto esiste ed è unico ed inoltre la matrice associata all'aggiunto è uguale alla trasposta coniugata di A.
dato che però sei in $RR$ e probabilmente hai scritto la matrice di $f_a$ rispetto alla base canonica (che è o.n.), allora quello che dici è corretto.
alternativamente puoi sempre controllare con la definizione se quella è un'isometria.

[kika_17]

si si, ho scritto la matrice $A$ di $f_a$ rispetto alla base canonica.

Ok, ho capito ... ti ringrazio !!!