Intersezione sottospazi

[Salivo44]

Ciao a tutti, mi serve una mano per un punto di questo esercizio :

Dati i seguenti sottospazi di $RR^5$

$U_1 = {(1,0,0,1,0),(0,0,1,1,-1),(1,0,1,2,0)}$
$U_2 = {(1,0,0,0,2),(3,0,0,1,-1),(-5,0,0,2,2)}$

Determinare una base ed una dimensione di $U_1$ , $U_2$ , $U_1 + U_2$ e $U_1\capU_2$

Ho trovato che $U_1$ e $U_2$ hanno dimensione $3$ e una base è data proprio dai vettori che li generano.
Una base del sottospazio somma $U_1+U_2$ è ${(1,0,0,1,0),(0,0,1,1,-1),(1,0,1,2,0),(1,0,0,0,2)}$ che ha dunque dimensione $4$.

In base alla relazione di Grassman scopro dunque che la dim. di $U_1\capU_2$ è $2$

Per trovare una base insieme ho qualche problema :

Da come so devo considerare il sistema costituito da :
$h_1(1,0,0,1,0)+h_2(0,0,1,1,-1)+h_3(1,0,1,2,0)= h_4(1,0,0,0,2)+h_5(3,0,0,1,-1)+h_6(-5,0,0,2,2) = (0,0,0,0,0)$

che non so come risolvere. Cerco aiuti, o anche suggerimenti, grazie!

[Vicia]

In che senso non sai come risolverlo?
$h1(1,0,0,1,0)+h2(0,0,1,1,−1)+h3(1,0,1,2,0)=h4(1,0,0,0,2)+h5(3,0,0,1,−1)+h6(−5,0,0,2,2)$
Da qui di costruisci un sistema in 5 equazioni e 6 incognite. Ad occhio non mi sembra troppo complesso. lo risolvi e ovviamente non avrai una soluzione unica, ma le soluzioni saranno infinite e dipenderanno da alcuni parametri(dico alcuni perchè non so che ti verrà fuori dal sistema, può essere che ti dipenderà anche da uno solo.
Il tuo sottospazio intersezione sarà: $U_1nnU_2= (h_1),(h_2),(h_3),(h_3),(h_4),(h_5),(h_6)$
Dove però devi trovare le relazioni tra i parametri, cosicchè poi puoi travare la dimensione.
Non so se sono stata chiara, fammi sapere.

[Salivo44]

Ho trovato i coefficienti con il metodo di sostituzione (che barba!)

$h_1 = 2h_6 -h_3 +h_5$
$h_2 = -h_3$
$h_4 =7h_6-2h_5$
$h_5=2h_6+2h_4+h_2$

E ora cosa faccio?

[Vicia]

Bhè in realtà il sistema non l'hai per niente risolto.
Se non ho sbagliato i calcoii dovrebbe venire:
$\{(h_1=28/3h_4 - 16/3h_3), (h_2=-h_3), (h_6=7/3h_4-4/3h_3), (h_5=20/3h_4-11/3h_3):}$
Ora vedi che il tuo sottospazio intersezione dipenderà soltanto da 2 parametri e quindi la sua dimensione sarà 2.

[Salivo44]

Grazie mille, quindi per trovare una base mi basta sostituire dei valori a $h_3$ e $h_4$ giusto?

[Vicia]

Per trovare una base devi mettere a giro ad ogni parametro 1 e a tutti gli altri 0. Nel senso prima poni $h_3=1$ e $h_4=0$ trovando il primo vettore e poi viceversa trovando il secondo vettore della base.