Sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali del II ordine

[2013haumea]

Buongiorno a tutt*!
Ieri una ripetizione dell'equazione di d'Alembert mi ha dato lo spunto per una riflessione. Premetto di non avere competenze particolarmente avanzate nel trattare analiticamente le equazioni differenziali (specie se alle derivate parziali), ma ho comunque provato a risolvere il seguente problema:

\(\displaystyle
f \equiv f(x,t) \\ \begin{cases}
\frac{∂^2f}{∂x^2}=0 \\
\frac{∂^2f}{∂t^2}=0
\end{cases} \; \; \; \; \; (i)
\)

Inizialmente ho tentato un'integrazione diretta delle equazioni, e ho ottenuto che \(\displaystyle f(x,t) \) debba essere contemporaneamente delle forme

\(\displaystyle \begin{cases}
f(x,t)=c_1(t)x + c_2(t) \\
f(x,t)=c_3(x)t + c_4(x) \end{cases} \; \; \; \; \; (ii)
\)

Tuttavia, pur con delle manipolazioni algebriche, non riesco a fissare una qualche relazione significativa tra \(\displaystyle c_1(t), \; c_2(t), \; c_3(x), \; c_4(x) \), se non che debba valere

\(\displaystyle \frac{dc_3}{dx}=\frac{dc_1}{dt} \; \; \; \; \; (iii) \; \)- uguagliando membro a membro e valutando la derivata mista \(\displaystyle \frac{∂^2f}{∂x∂t} \)

Intuitivamente, ipotizzo che la soluzione generale sia della forma

\(\displaystyle
f(x,t)=kx+ \omega t + \gamma xt + f_0 \; \; \; \; \; (\diamondsuit)
\)

con \(\displaystyle k, \omega, \gamma , f_0 \) costanti arbitrarie. E in effetti questa classe di funzioni soddisfa le condizioni \(\displaystyle (i), \; (ii), \; (iii) \). Tuttavia mi chiedo se esistano metodi più formali per arrivarci, che non si limitino all'andare a "tentativi" come ho sostanzialmente fatto. Insomma, ho dimostrato che \(\displaystyle (\diamondsuit) \) è sufficiente al sistema \(\displaystyle (i) \). Posso dimostrare che ne è anche condizione necessaria? Se sì, quali prerequisiti teorici sarebbero necessari per arrivarci?

Grazie in anticipo a chiunque voglia rispondere!

[gugo82]

Perché integrare entrambe?
Ne basta una, come quando cerchi la primitiva di una forma differenziale lineare...

Ovviamente, si assume che $f$ sia regolarissima.
Integrando la prima PDE ottieni che $f$ è lineare in $x$, i.e. $f(x,t) := a(t) x + b(t)$ con $a,b$ regolari.
Derivando due volte rispetto a $t$ ottieni \(f_{tt} (x,t) = a^{\prime \prime} (t) x + b^{\prime \prime} (t)\) che, essendo un polinomio in $x$, è identicamente nullo solo se ha i coefficienti nulli; ciò implica che $a(t) = alpha t + beta$ e $b(t) = gamma t + delta$.
Dunque $f(x,t) := alpha xt + beta x + gamma t + delta$.

Ti convince?

[2013haumea]

Semplice ed elegante.

Grazie mille, chiarissimo!