Integrale improprio e lemma di Jordan

[f4747912]

Salve a tutti, volevo alcune informazioni su questo esercizio svolto in aula dopo la spiegazione del teorema di Jordan.
In pratica come esercizio di esempio è stato dato questo integrale


$\int_{0}^{oo}(senx)/x dx$


E' stata scelta questa funzione ausiliaria che da problemi quando $z=0$ . Facendo riferimento ad un dominio come quello in figura, ci si allontana dall'origine e quindi la funzione risulterà olomorfa e si può applicare il teorema Integrale di Caucy.

$f(z) = (e^(iz))/z$






abbiamo esplicitato gli integrali in questo modo:

$I_1=$ $\int_{A'}^{B'}(e^(iz))/z dz$


$I_2=$ $\int_{\gamma(B',A)}^{}(e^(iz))/z dz$

$I_3=$ $\int_{A}^{B}(e^(iz))/z dz$

$I_4=$ $\int_{\gamma(B,A')}^{}(e^(iz))/z dz$

la somma di questi integrali $ I_1+I_2+I_3+I_4=0$

Sull'integrale $I1$ e $I3$ ho capito cosa è stato fatto e poi tramite cambio di variabile siamo arrivati a fare la somma dei due integrali.

Per l'integrale $I4$ è stato applicato il teorema di Jordan quindi abbiamo fatto:

$lim z->0 $ $z f(z)$

quindi
$lim z->0 $ $e^(iz)$ $=1$

quindi per il teorema di Jordan si conclude che :

$lim r->0$ $\int_{\gamma}f(z) dz$ $= i\lambda(\theta_1 - \theta_0)$

quindi il risultato è $-i\pi$ guardando la figura

fin qui mi sembra di aver capito il tutto..
Questo lemma del teorema di Jordan è detto anche "Lemma del piccolo cerchio??
a lezione è stato detto solo che il teorema era diviso in due parti..


Mi resta l'ultimo integrale $I_2$ dove alla lavagna è stato rappresentato z con la rappresentazione parametrica

$z= z0+e^(i\theta) $

qui siamo giunti ad una conclusione che non ho capito.

l'obiettivo dovrebbe essere applicare il secondo lemma del teorema di Jordan?

$lim R_>oo$ $\int_{\gamma}f(z) dz$ $= i\lambda(\theta_1 - \theta_0)$

che dovrebbe essere a questo punto il lemma del grande cerchio.

se qualcuno può aiutarmi a risolverlo e a chiarire questo dubbio..

Un saluto a tutti.

[pilloeffe]

Ciao guido fonzo,

Attenzione che si ha:

$\int_0^{+\infty} sinx/x \text{d}x = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} sinx/x \text{d}x = \pi/2 $

Poiché $e^{iz} = 1 + iz + ... $, la funzione $f(z) = e^{iz}/z $ presenta un polo semplice nell'origine con residuo $\text{Res}[f(z), 0] = 1$. Dunque si ha:

$0 = 2i \int_r^R sinx/x \text{d}x - \int_{\gamma_r} e^{iz}/z \text{d}z + \int_{\Gamma_R} e^{iz}/z \text{d}z $

ove si è tenuto conto del fatto che le funzioni $sin x/x $ e $cosx/x $ sono rispettivamente la prima pari e la seconda dispari, pertanto la somma degli integrali della seconda funzione sui due intervalli $(- R, - r) $ e $(r, R) $ è nulla. Passando al limite per $r \to 0 $ e $R \to +infty $ tenendo conto dei lemmi di Jordan si ha:

$0 = 2i \int_0^{+\infty} sinx/x \text{d}x - i\pi \cdot 1 + 0 \implies \int_0^{+\infty} sinx/x \text{d}x = \pi/2 $

[f4747912]

Ciao e grazie per la risposta.. allora dai calcoli sono arrivato a quanto dici tu.
l'unica cosa che non mi trovo è appunto sull'integrale da calcolare che mi mancava che ho chiamato $I_2$
in pratica sull'integrale che ho chiamato $I_4$ che sarebbe il semicerchio più piccolo applico il lemma del piccolo cerchio e faccio il limite $lim r->0$ quindi avro $-i\pi$

sull'altro integrale posso scrivere

$\int_{\gamma(B',A)}^{} e^(iR(cos\theta+isen\theta)) dz$

sostituendo a $z=Re^(i\theta)$


qui applico il "lemma del grande cerchio "
$lim R->oo$ $\int_{\gamma(B',A)}^{} e^(-R(sen\theta-icos\theta)) dz$

e quindi tale integrale è 0..

che ne pensi?

[pilloeffe]

"guido fonzo":che ne pensi?

Penso che l'integrale effettivamente si annulla, ma la dimostrazione non è quella che hai scritto (che comunque è errata: dici di voler sostituire $z = R e^{i\theta} $, ma poi di fatto non lo fai, dato che nell'integrale che hai scritto compare ancora $\text{d}z $ invece di $\text{d}\theta $, e soprattutto ti dimentichi di dividere per $z = R e^{i\theta} $... ) ed il lemma di Jordan di interesse è il seguente.

Sia $f$ una funzione continua in un settore $S $ del semipiano $ \text{Im}(z) >= 0 $:

$S := {z \in \CC : 0 <= \theta_1 <= \text{arg}(z) <= \theta_2 <= \pi} $

Se $\lim_{z \to \infty}f(z) = 0 $ allora $\lim_{R \to +\infty} \int_{\Gamma_R} f(z) e^{i z} \text{d}z = 0 $
dove $\Gamma_R $ è l'intersezione di $S$ con la circonferenza di centro l'origine e raggio $R$.

Il lemma sussisterebbe inalterato se in luogo di $f(z) e^{i z} $ figurasse $ f(z) e^{\alpha z} $, con $\alpha = a + i b \ne 0 $, a patto che il settore $S$ sia contenuto nel semipiano individuato dalla condizione $\text{Re}(\alpha z) <= 0 \iff a x - b y <= 0 $
Geometricamente, se $\alpha = a + i b \implies \bar{alpha} = a - i b $, la retta per l'origine, normale al "vettore" $\bar{alpha} $, divide $\CC $ in due semipiani: la condizione precedentemente scritta individua il semipiano che non contiene $ \bar{alpha} $.