Spettro residuale di operatore compatto

[fragn11]

Dal teorema spettrale per operatori compatti (non autoaggiunti) è noto che lo spettro di tali operatori è contenuto in $\{0\}\bigcup\sigma_e(T)$, dove $\sigma_e(T)$ è l'insieme (eventualmente vuoto) degli autovalori dell'operatore. Dunque, l'unica possibilità che l'operatore abbia spettro continuo o residuale non nullo è che $0$ sia in questi insiemi. Non è difficile trovare un operatore compatto con spettro continuo non vuoto (e.g. Volterra), ma non mi viene in mente nessun possibile operatore compatto con spettro residuale non vuoto. Mi sorge quindi il dubbio: esistono operatori compatti con spettro residuale non vuoto?

[dissonance]

"Residuale" é lo spettro né puntuale né continuo? Quindi in altre parole stai chiedendo se \(0\) deve per forza essere spettro continuo. Ricordami un attimo la definizione di spettro continuo please...

[otta96]

Non ricordandomi nemmeno io queste definizioni, da una rapida rinfrescata su Wikipedia, lo spettro sono quei valori $\lambda$ per cui $L=T-\lambda I$ non è invertibile. Si suddivide in:
-puntuale: se $L$ non è iniettiva;
-continuo: se $L$ è iniettiva e ha immagine densa;
-residuale: se $L$ è iniettiva e ha immagine non densa.
Ora un controesempio non ce l'ho a portata di mano ma probabilmente l'ho visto, probabilmente sul Rudin.

[dissonance]

Siccome l'unico valore interessante in questo caso è \(\lambda=0\), stiamo cercando un esempio di operatore compatto, iniettivo e con immagine non densa. Giusto? Se è così, un tale esempio è \(T\colon \ell^2 \to \ell^2\) dato da
\[
T(x_1, x_2, \ldots)= (0, x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \frac{x_4}{4}, \ldots).\]

[fragn11]

Ho controllato i conti, funziona tutto. Un buon esempio.
Grazie per l'aiuto.

[gugo82]

Di queste cose sene parlava tanto, tanto tempo fa (quando Analisi Superiore ancora non c'era) in English Corner.
Se vai a spulciare ci trovi diversi esercizi simpatici.