PDE - Curve caratteristiche
Ciao a tutti,
Ho tre dubbi che riguardano le curve caratteristiche.
Considerate il seguente sistema
$ { ( au_x+bu_t=0 ),( u(x,0)= phi(x) ):} $
$a,b in RR$
$phi(x)$ è nota.
Per trovare la funzione $u(x,t)$, il metodo delle curve caratteristiche consiste in scegliere una curva parametrica
$alpha(s)= ( (x(s)), (t(s)) ) $
tale che
$alpha'(s)= ( (x'(s)), (t'(s)) ) = ( (a), (b) ) $
1) Adesso arriva il primo punto che non capisco... Come mai, per trovare $alpha(s)$, bisogna risolvere i seguenti due problemi di cauchy?
$ { ( x'(s)=a ),( x(0)=x ):} $
$ { ( t'(s)=b ),( t(0)=t ):} $
2) Non capisco inoltre il significato delle condizioni iniziali...... Qualcuno saprebbe spiegarmi come mai, come condizioni iniziali devo mettere le variabili della funzione incognita $u$?
Risolvendo, trovo:
$ alpha(s) = { ( x(s)=x+as ),( t(s)=t+bs ):} $
Scegliendo $s=-t/b$, trovo
$u(alpha(s))= u(x-a/bt, 0)= phi (x-a/bt)$
3) Qualcuno saprebbe spiegarmi come mai, da questa ultima equazione, posso dire che
$phi(x-a/bt)$
è la funzione soluzione $u(x,t)$ che soddisfa il problema iniziale?
Ho tre dubbi che riguardano le curve caratteristiche.
Considerate il seguente sistema
$ { ( au_x+bu_t=0 ),( u(x,0)= phi(x) ):} $
$a,b in RR$
$phi(x)$ è nota.
Per trovare la funzione $u(x,t)$, il metodo delle curve caratteristiche consiste in scegliere una curva parametrica
$alpha(s)= ( (x(s)), (t(s)) ) $
tale che
$alpha'(s)= ( (x'(s)), (t'(s)) ) = ( (a), (b) ) $
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1) Adesso arriva il primo punto che non capisco... Come mai, per trovare $alpha(s)$, bisogna risolvere i seguenti due problemi di cauchy?
$ { ( x'(s)=a ),( x(0)=x ):} $
$ { ( t'(s)=b ),( t(0)=t ):} $
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2) Non capisco inoltre il significato delle condizioni iniziali...... Qualcuno saprebbe spiegarmi come mai, come condizioni iniziali devo mettere le variabili della funzione incognita $u$?
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Risolvendo, trovo:
$ alpha(s) = { ( x(s)=x+as ),( t(s)=t+bs ):} $
Scegliendo $s=-t/b$, trovo
$u(alpha(s))= u(x-a/bt, 0)= phi (x-a/bt)$
3) Qualcuno saprebbe spiegarmi come mai, da questa ultima equazione, posso dire che
$phi(x-a/bt)$
è la funzione soluzione $u(x,t)$ che soddisfa il problema iniziale?
Risposte
"impe":
3) Qualcuno saprebbe spiegarmi come mai, da questa ultima equazione, posso dire che
$phi(x-a/bt)$
è la funzione soluzione $u(x,t)$ che soddisfa il problema iniziale?
Andiamo per gradi perche' qui serve calma e sangue freddo.
Intanto sei convinto che questa $u(x,t) = phi(x-a/bt)$ e' la soluzione del problema ?
Ovvero hai provato a calcolare $au_x+bu_t$ ?
Mentre ti convinci ti faccio un'altra domanda: alla fine la soluzione e' una funzione di due variabili o di una sola ?
E' una funzione di 2 variabili che si puo' esprimere come funzione di una sola variabile ?
Cosa ti suggerisce tutto questo ?
Innanzitutto grazie della risposta Quinzio.
(1) Allora, premetto che ho letto tutto ciò da appunti di un professore universitario. Quindi dire che ne sono convinto è un parolone dato che sono duro di comprendonio, e dato che si sta trattando un caso specifico (equazione del trasporto lineare) ma in modo generale.
(2) Ti propongo un caso molto semplice che mi fa convincere che vada bene:
$ { ( u_x - 2u_t=0 ),( u(x,0)=x^2 ):} $
In questo caso:
$phi(x)=x^2$
$a=1$
$b=-2$
$u(x,t)=phi(x-a/bt)= (x+1/2t)^2$
Quest'ultima funzione soddisfa l'equazione.
(3) Di due, c'è sia $x$ che $t$
(4) Non penso. Perché dovrei?
(5) Non molto sinceramente...
"Quinzio":
(1) Intanto sei convinto che questa $u(x,t) = phi(x-a/bt)$ e' la soluzione del problema ?
(2) Ovvero hai provato a calcolare $au_x+bu_t$ ?
Mentre ti convinci ti faccio un'altra domanda:
(3) alla fine la soluzione e' una funzione di due variabili o di una sola ?
(4) E' una funzione di 2 variabili che si puo' esprimere come funzione di una sola variabile ?
(5) Cosa ti suggerisce tutto questo ?
(1) Allora, premetto che ho letto tutto ciò da appunti di un professore universitario. Quindi dire che ne sono convinto è un parolone dato che sono duro di comprendonio, e dato che si sta trattando un caso specifico (equazione del trasporto lineare) ma in modo generale.
(2) Ti propongo un caso molto semplice che mi fa convincere che vada bene:
$ { ( u_x - 2u_t=0 ),( u(x,0)=x^2 ):} $
In questo caso:
$phi(x)=x^2$
$a=1$
$b=-2$
$u(x,t)=phi(x-a/bt)= (x+1/2t)^2$
Quest'ultima funzione soddisfa l'equazione.
(3) Di due, c'è sia $x$ che $t$
(4) Non penso. Perché dovrei?
(5) Non molto sinceramente...
Scusa se ritorno in ritardo.
Quello che volevo dire e' che:
1) e 2)
Con $ u(x,t) = phi(x-a/bt) $
se calcoli le derivate parziali con la regola delle funzioni composte:
$u_x(x, t) = phi'(x-a/bt) $
e
$u_t(x, t) = phi'(x-a/bt) * (-a/b) $
e quindi e' vero che $a u_x + b u_t = 0$, ti basta sostituire i risultati di prima.
4) E' vero che e' una funzione di due variabili, ma se sostituisci $y = x-a/bt$ puoi scrivere $\phi(y)$, quindi in realta' la funzione e' di una variabile sola.
5) Quello che volevo suggerire e' che la superficie della funzione $u(x, t)$ nel piano $x, t$ e' una superficie composta da tante righe parallele alla retta $x-a/bt = 0$.
Se invece prendi una sezione della superficie lungo una perpendicolare a $x-a/bt = 0$ trovi la funzione $\phi$.
Hai mai provato a prendere un programma onine di CAD tipo Geogebra e visualizzare la funzione, cosi' vedi che aspetto ha ?
Perche' si chiama metodo delle curve caratteristiche ?
E' un nome a caso oppure hai mai pensato a cosa sono queste "curve caratteristiche" ad es. in questo esercizio ?
Quello che volevo dire e' che:
1) e 2)
Con $ u(x,t) = phi(x-a/bt) $
se calcoli le derivate parziali con la regola delle funzioni composte:
$u_x(x, t) = phi'(x-a/bt) $
e
$u_t(x, t) = phi'(x-a/bt) * (-a/b) $
e quindi e' vero che $a u_x + b u_t = 0$, ti basta sostituire i risultati di prima.
4) E' vero che e' una funzione di due variabili, ma se sostituisci $y = x-a/bt$ puoi scrivere $\phi(y)$, quindi in realta' la funzione e' di una variabile sola.
5) Quello che volevo suggerire e' che la superficie della funzione $u(x, t)$ nel piano $x, t$ e' una superficie composta da tante righe parallele alla retta $x-a/bt = 0$.
Se invece prendi una sezione della superficie lungo una perpendicolare a $x-a/bt = 0$ trovi la funzione $\phi$.
Hai mai provato a prendere un programma onine di CAD tipo Geogebra e visualizzare la funzione, cosi' vedi che aspetto ha ?
Perche' si chiama metodo delle curve caratteristiche ?
E' un nome a caso oppure hai mai pensato a cosa sono queste "curve caratteristiche" ad es. in questo esercizio ?
"Quinzio":
Scusa se ritorno in ritardo.
Ma va, figurati!! scusa di che
"Quinzio":
4) E' vero che e' una funzione di due variabili, ma se sostituisci $y = x-a/bt$ puoi scrivere $\phi(y)$, quindi in realta' la funzione e' di una variabile sola.
5) Quello che volevo suggerire e' che la superficie della funzione $u(x, t)$ nel piano $x, t$ e' una superficie composta da tante righe parallele alla retta $x-a/bt = 0$.
Se invece prendi una sezione della superficie lungo una perpendicolare a $x-a/bt = 0$ trovi la funzione $\phi$.
4) giusto, è vero
5) come fai a presumere che siano "tante" e non, ad esempio, una?
"Quinzio":
1*) Hai mai provato a prendere un programma onine di CAD tipo Geogebra e visualizzare la funzione, cosi' vedi che aspetto ha ?
2*) Perche' si chiama metodo delle curve caratteristiche ?
3*) E' un nome a caso oppure hai mai pensato a cosa sono queste "curve caratteristiche" ad es. in questo esercizio ?
1*) purtroppo no!! sapresti indicarmi qualche link? Geogebra da quanto so è un software immenso, non sapevo si potessero trattare anche questi argomenti.
2* e 3*) Da quanto so, si chiama metodo delle curve caratteristiche perché, se la EDP soddisfa determinate condizioni, posso assumere che la funzione soluzione $u(x,t)$ lungo alcune curve (caratteristiche) del piano $(x,t)$ assuma valori costanti! Posso sfruttare questa informazione per risolvere la EDP.
5) Sono tante rette parallele perche' per ogni $y = x - a/b t$ di $\phi(y)$ le $y = x - a/b t$ sono tante rette parallele, una per ogni $y$.
1) Ad esempio per $\phi(x-a/b t ) = sin(x-2y)$
https://www.geogebra.org/m/bdtpkhsj
Geogebra e' un software immenso, un po' come Microsoft Word, ma per scrivere una lettera mica devi conoscerlo tutto.
Tempo richiesto per l'esempio: 150 secondi.
2) Fuochino. La risposta e' qui https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_de ... rimo_grado
1) Ad esempio per $\phi(x-a/b t ) = sin(x-2y)$
https://www.geogebra.org/m/bdtpkhsj
Geogebra e' un software immenso, un po' come Microsoft Word, ma per scrivere una lettera mica devi conoscerlo tutto.
Tempo richiesto per l'esempio: 150 secondi.
2) Fuochino. La risposta e' qui https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_de ... rimo_grado
grazie mille per tutte le dritte Quinzio!!
Grazie gugo!!
Quindi l'imporre come condizioni iniziali
$x(0)=x$
e
$t(0)=t$
sono una conseguenza di vari ragionamenti e assunzioni valide
Quindi l'imporre come condizioni iniziali
$x(0)=x$
e
$t(0)=t$
sono una conseguenza di vari ragionamenti e assunzioni valide
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