$L^(infty)$ denso in $L^p$

[anto_zoolander]

Devo dimostrare per esercizio che $L^(infty):=L^(infty)(X,mu)$ è denso in $L^p:=L^p(X,mu)$ quando $mu(X)

sia $f in L^p$, considero $f_n(x)=min{n,f(x)}$

$f_n in L^(infty)$:
chiaramente $mu(abs(f_n) > n)=0$ quindi $norm(f_n)_(L^(infty))
$f_n -> f$ puntualmente:
scelto $x in X$ se $f(x)=infty$ allora $f_n(x)=n -> f(x)$
se $f(x)
$abs(f-f_n)^p$ è dominata:
$abs(f(x)-f_n(x))leqabs(f(x))+abs(f_n(x))leq2abs(f(x)) => abs(f(x)-f_n(x))^p leq 2abs(f(x))^p$

quindi si conclude che per convergenza dominata $f_n -> f$ in $L^p$


domanda: la finitezza di $mu(X)$ si usa solo per essere sicuri che $L^infty subset L^p$? perché nei passaggi non ho trovato necessario utilizzare questa ipotesi se non per quanto esposto nella domanda.

[otta96]

Si.

[anto_zoolander]

thanks

[dissonance]

In effetti tu hai dimostrato che $L^\infty(X, \mu)\cap L^p(X, \mu)$ é un sottospazio denso di $L^p(X, \mu)$. Nel caso particolare in cui $\mu(X)<\infty$, si ha che $L^\infty(X, \mu)\cap L^p(X, \mu)=L^\infty(X, \mu)$, esattamente come hai detto tu.

[anto_zoolander]

non ci avevo pensato, grazie :p

Tra le altre cose ho notato che la dim è sbagliata usando quella definizione di $f_n$ in quanto può non essere vero che $abs(f_n)>n$ o $abs(f_n)leqabs(f)$ se $f_n$ assume valori negativi.
Basta ridefinire $f_n$ come

\( \mathrm{ f_{n}(x)= \max \{-n,\min \{n,f(x) \} \} }\)