L'insieme dei punti estremi dei compatti convessi nel piano è compatto?

[otta96]

Prendiamo un insieme $C\subseteqRR^2$ convesso e compatto e consideriamo l'insieme dei suoi punti estremi $E(C)$ (un punto $x\inC$ si dice estremo se $x=ty+(1-t)z$ con $y,z\inC,t\in[0,1]$ implica $x=y=z$).
$E(C)$ è compatto? Penso di si ma non so come dimostrarlo.
In dimensioni superiori non funziona, un controesempio è l'inviluppo convesso di $K=S^1\times{0}uu{1,0,+-1}$, che ha come insieme dei punti estremi $K\setminus{(1,0,0)}$.
Se a qualcuno interessasse è un esercizio del Rudin.

[dissonance]

"Convesso e compatto" in dimensione 1 vuol dire esattamente \([a, b]\). Non ce ne sono altri. Infatti un convesso in dimensione 1 non puó che essere un intervallo.

[otta96]

Ops intendevo in dimensione $2$.

[dissonance]

Ah ok. Ma non capisco il controesempio. Potresti rivedere ció che hai scritto? Non mi sembra abbia molto senso, ci deve essere un typo.

[otta96]

Ho controllato ma dovrebbe essere giusto, l'insieme è un unione di 2 coni con il vertice sopra e sotto ad uno stesso punto della circonferenza della base, cosa non ti torna?

[4131]

"dissonance":Ah ok. Ma non capisco il controesempio. Potresti rivedere ció che hai scritto? Non mi sembra abbia molto senso, ci deve essere un typo.

[tex]\begin{align*}
\mathbb{R}^3\supseteq K&=\big(\mathbb{S}^1\times\{0\}\big)\cup\{(1,0,\pm1)\}\\
&=\{(x,y,0)\subseteq\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2=1\}\cup\{(1,0,1),(1,0,-1)\}
\end{align*}[/tex]

Il punto [tex](1,0,0)[/tex] non è estremo poiché [tex](1,0,1),(1,0,-1)\ne(1,0,0)=t(1,0,1)+(1-t)(1,0,-1)[/tex] per [tex]t=\frac12[/tex].

[gugo82]

Per i convessi compatti in dimensione finita puoi provare a spulciare Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowsky Theory, Cambridge University Press.

Ad ogni buon conto, proverei con un doppio cono non retto, come, ad esempio, l'inviluppo convesso di $\{ (x,y,0): x^2 + y^2 = 1 \} uu \{ (1,0,+-1)\}$.