Esercizio Disuguaglianza di Hoelder

[santarelligabriele]

Ciao Ragazzi!
Io sono uno studente di ingegneria elettronica 3° anno triennale.Visto che vorrei cambiare alla magistrale e passare a Matematica,questo semestre ho deciso di seguire Analisi 3 e Geometria 3.Premetto che non ho studiato Teoria della misura in Analisi 2 come i matematici e quindi dovrò guardarmi quella parte da solo.
Il prof ieri a lezione ha lasciato questo esercizio dopo aver introdotto e dimostrato la disuguaglianza di Hoelder,ma non ho idea di come procedere.Qualcuno riesce ad indirizzarmi?
Provare che se[tex]\Omega[/tex] è misurabile e limitato e [tex]\mathit{f} \colon \Omega \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}[/tex] è tale che [tex]\int_\Omega |f|^p dx < +\infty[/tex] per ogni [tex]p>1[/tex]
Allora la funzione
[tex]q \colon \longrightarrow \left(\frac{1}{mis(\Omega)}\int_\Omega |f|^p dx \right)^\frac{1}{p}[/tex] è monotona crescente.

[gugo82]

Suppongo che la funzione sia la $Q:]1,+oo[ -> [0,+oo[$ definita ponendo $Q(p) := (1/(|Omega|) int_Omega |f|^p "d" x))^(1/p)$ (in cui $|*|$ con argomento un insieme denota la misura di Lebesgue) ed ovviamente devi supporre anche che $|Omega| != 0$, altrimenti perdi in partenza.

Chiaramente se $f$ è q.o. nulla in $Omega$ hai $Q(p) = 0$ e perciò la funzione $Q$ è costante; altrimenti, devi mostrare che:

$1\ Q(p_1) <= Q(p_2)$

(o con la disuguaglianza stretta più a destra, se vuoi la monotonia stretta).

Tanto per semplificare, comincia a supporre che che $|Omega| = 1$, cosicché devi far vedere che:

$1\ (int_Omega |f|^(p_1) "d" x)^(1/p_1) <= (int_Omega |f|^(p_2) "d" x)^(1/p_2)$

o, ciò che è lo stesso, che fissati $1
$int_Omega |f|^(p_1) "d" x <= (int_Omega |f|^(p_2) "d" x)^(p_1/p_2)$.

Osservando attentamente la disuguaglianza a destra vedi che essa assomiglia molto ad una disuguaglianza di Hölder... Tutto sta a far quadrare gli esponenti.[nota]Questo è l'unico punto difficile degli esercizi con -e delle applicazioni della- disuguaglianza di Hölder: scegliere bene gli esponenti.[/nota]

Vediamo.
Nell'integrando di $int_Omega |f|^(p_1) "d" x$ c'è -anche se non scritto esplicitamente- un prodotto: il prodotto tra la funzione $|f|^(p_1)$, che sta in $L^1(Omega)$, e la funzione identicamente uguale ad $1$, che sta in $L^oo(Omega)$.
Tuttavia, se applichiamo Hölder con la coppia di esponenti coniugati $p=1$ e $p^** = oo$ otteniamo:

$int_Omega |f|^(p_1) "d" x <= int_Omega |f|^(p_1) "d" x$,

che non serve a nulla.

Allora: l'idea di considerare l'integrando un prodotto è buona, però non abbiamo indovinato gli esponenti.

Riproviamo, con un trucco.
Visto che $|f|^(p_1) = (|f|^(p_2))^(p_1/p_2)$, la funzione $|f|^(p_1)$ è in $L^p(Omega)$, con $p = (p_2)/(p_1)$ (perché?), e la funzione identicamente uguale ad $1$ su $Omega$ è in $L^(p^**)(Omega)$, con $p^** = p/(p-1) = ((p_2)/(p_1))/((p_2)/(p_1) - 1) = (p_2)/(p_2 - p_1)$ esponente coniugato di $p$ (perché?). Applicando Hölder con la coppia di esponenti coniugati $p$ e $p^**$ otteniamo:

$int_Omega |f|^(p_1) "d" x <= (int_Omega |f|^(pp_1) "d" x)^(1/p) * (int_Omega 1^(p') "d"x)^(1/(p^**)) = (int_Omega |f|^(p_2))^((p_1)/(p_2)) * |Omega|^((p_2 - p_1)/(p_2)) = (int_Omega |f|^(p_2))^((p_1)/(p_2))$

(perché $int_Omega 1 "d" x = |Omega| = 1$), proprio come volevamo!

Il punto, ora, è: riesci a fare a meno dell'ipotesi $|Omega| = 1$?