Analisi matematica di base

Ciao a tutti. L'esercizio mi chiede di calcolare \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{xsenx}{1+x^2} \) La prima cosa che faccio è porre \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{1+z^2} \) che ha come singolarità isolate che sono poli del primo ordine, \(\displaystyle i \)e \(\displaystyle -i \) Dal momento che \(\displaystyle e^{iz}=cosz+i senz \), ciò che faccio è studiare la funzione \(\displaystyle g(z)=e^{iz}f(z) \). Considero D il semicerchio di centro O e raggio \(\displaystyle R>2 \) in ...

Ciao a tutti, ho un (moltissimi ) problema con l'integrale di Lebesgue. Ho questo esercizio Determinare il carattere della seguente serie numerica \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \int_1^∞ \frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} dx \) Per prima cosa ho posto \(\displaystyle g_n(x)=\frac{e^{-x^2 n}}{1+e^{-x^2 n}} \) successione di funzioni misurabili (?) non negative quasi ovunque; allora posso passare al limite sotto il segno di integrale e trovare che \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \frac{e^{-x^2 ...

Ciao a tutti. Ho il seguente esercizio calcolare \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_1^n x^{-2}(senx)^n dx \) Allora quello che so io è che se abbiamo \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_{E_n} f_n(x) dx \) e se \(\displaystyle E_n \) sono a due a due disgiunti, allora detto \(\displaystyle E= \bigcup_n E_n \) e detto \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} f_n(x)=f(x) \)si ha che \(\displaystyle lim_{n-> +\infty} \int_{E_n} f_n(x)= \int_E f(x) \) Tuttavia questo ragionamento non può ...

Quando ho un esercizio del tipo ''Calcolare l'integrale \(\displaystyle \int Σ (-1)^n f_n(x) \) non posso applicare il corollario al teorema di convergenza monotona (BEPPO LEVI) perchè si chiede che ''sia \(\displaystyle Σ g_n(x) \) e sia \(\displaystyle g(x) \) la somma della serie, se\(\displaystyle g_n(x) \) sono NON NEGATIVE quasi ovunque allora \(\displaystyle Σ \int g_n(x) = \int Σ g_n(x) = \int g(x) \)''; Tuttavia nel nostro caso\(\displaystyle g_n(x)= (-1)^n f_n(x) \) e non ...

Ho dei problemi con la dimostrazione del limite: \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \) Praticamente prendo in riferimento la dimostrazione che si trova su wikipedia, questa partendo dall'identità \(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}=\mathit{e}\) Cerca di mostrare che il limite sopra è uguale alla sommatoria. Ecco ciò che fin'ora ho capito: Si definisce una successione $s_n$ come: \(\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \) E' per ...

Ciao ragazzi , non riesco a capire come si fa a disegnare questo dominio : $D={ (x,y)€R^2 : |x|<=1 , |y|<=1}$ se ho capito bene dovrebbe venire un quadrato con gli spigoli in $(1,1) ; (-1,1) ; (-1,-1) : (1;-1)$ ma potrei sbagliarmi ! non capisco proprio come si fa a disegnarlo, ho intuito che sia quello solo grazie alle soluzioni numeriche dell'esercizio.. potete aiutarmi a capire per favore? grazie mille

Salve a tutti, ho iniziato a svolgere questo esercizio per il quale vorrei una mano a sbloccarmi Vi mostro i passaggi eseguiti Calcolare gli estremi relativi della funzione $ f(x,y) = 4x^4-16x^2y+x$ Ho calcolato la derivata parziale rispetto ad $x$: $16x^3-32xy+1$ Poi la derivata parziale rispetto ad $y$ : $f'(y)=-16x^2$ Ho messo a sistema le soluzioni imponedole uguali a 0 : $\{(16x^3-32xy+1 = 0),(-16x^2 = 0):}$ Volevo provare a risolvere il sistema per semplice sostituzione ma ho ...

Salve a tutti, ho un dubbio nello svolgimento del seguente esercizio: Sia dato il campo vettoriale: $ X=(3y^4z^2)e1+(4x^3z^2)e2-(3x^2y^2)e3 $ -è irrotazionale ? -è conservativo ? (se sì, calcolarne il potenziale) Per la prima richiesta vedo che le condizioni di irrotazionalità: $ (partial v1)/(partial y)=(partial v2)/(partial x) $ $ (partial v1)/(partial z)=(partial v3)/(partial x) $ $ (partial v2)/(partial z)=(partial v3)/(partial y) $ non valgono, quindi il campo non è irrotazionale. Ora...io so che conservativo implica irrotazionale, quindi, dal momento che il campo non è irrotazionale posso dire che il ...

Salve ragazzi, ho un dubbio su questa dimostrazione Teorema $f,g:Xrarr R$ misurabili allora $f+g$ misurabile Dimostrazione $F:R^2rarr R$ tale che $F(a+b)=a+b AA (a,b)in R^2$ è continua Infatti, è continua in $(a_0,b_0)in R^2 hArr \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0$ tale che $||(a,b)-(a_0,b_0)||< \delta \Rightarrow |F(a,b)-F(a_0,b_0)|< \varepsilon $ $ |F(a,b)-F(a_0,b_0)|=|(a+b)-(a_0+b_0)|=|(a-a_0)+(b-b_0)|\leq |a-a_0|+|b-b_0|\leq 2||(a,b)-(a_0,b_0)||$ Quindi F uniformemente continua, quindi continua. Sia $h:X\rightarrow R$ tale che $h(x)=F(f(x),g(x))= f(x)+g(x)$. Allora h è misurabile per un teorema precedente che non sto adesso a scrivere. Il dubbio che ho io riguarda la ...

Ho una domanda su analisi 2. Ho fatto già degli esercizi simili, ma il testo era più semplice ed ero riuscita a capire come semplificare l'integrale triplo. "Data a>0 , sia P la piramide di vertice $ (0,0,a) $ e con base il quadrato $ (1,1,0) ; (1,-1,0) ; (-1,1,0) ; (-1,-1,0) $ Dato $ g(a) = int int int_(P) z(|z| + |y|) dx dy dz $ , dire quali delle seguenti soluzioni è giusta ... Ho segnato alcune delle risposte tipo $ g(3) = 4$ $g(4) = 1 $ $g(2) = ? $ che è la risposta giusta, ma non so quando valga (non l'ho ...

Salve a tutti, ho un problema con questa forma differenziale: $\omega$ $= [2(x-2)/((x-2)^2+y^2)-1/(x-y^2)]dx +2y[1/((x-2)^2+y^2) + 1/(x+y^2)]dy $ Ora, svolgendo le derivate parziali trovo che la forma chiusa, ma il dominio non è semplicemente connesso. Quindi passo al calcolo dell'integrale curvilineo. Il testo dell'esercizio dice : "calcolare l’integrale curvilineo esteso all’arco di circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ contenuto nel secondo quadrante e orientato in senso orario" Io ho pensato di poter utilizzare le formule di Gauss Green dato ...

ciao ragazzi ho una semplice curiosità non so se quello che sto per dirvi e' una cosa innacetabile matematicamente. Allora visto che studiando i limiti notevoli mi sono imbattuto nella dimostrazione del classico limite notevole sinx/x è uguale a 1 per x tendente a zero. nella dimostrazione grafica della circonferenza sono rimasto un po perplesso per il calcolo dell area del settore circolare la quale esce x/2 che dopo ho capito banalmente. ma io avrei trovato quel area in un altro modo cioè ...

Ciao a tutti, è giusta questa definizione di insieme stellato o convesso? Un insieme E si dice stellato se fissato un punto $P_0$ ,la distanza di ogni generico punto $P$ da $P_0$ è contenuta in E. Inoltre,un insieme stellato è a connessione lineare semplice,ma non vale il viceversa,giusto?

Ciao a tutti qualcuno può dirmi quando una forma differenziale viene detta localmente esatta e quando si parla di insieme sconnesso?

Cerco di aiuto con geometria.. qualcuno sa come si fa questa domanda: Sono date le rette r :  x = z, 2x- 3y = 1 e-> s :  y = z, x + y = 1 . Determinare il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da r e s. vi ringrazio tantissimo!!

Ciao a tutti, mi son trovato a fare un esercizio che non ho mai visto e non ho idea di come muovermi per risolverlo, né a che parti della teoria ricondurmi, quindi speravo che qualcuno potesse darmi qualche dritta Comunque, ecco qui l'esercizio: mi viene chiesto di calcolare, giustificando il procedimento, il limite $\lim_{n \to \infty} \int_{3}^{pi} (x^3 -n)/(x^2 + n) dx$ Così a muzzo ho pensato di occuparmi prima dell'integrale, fissando $n$ come fosse un parametro e provando a integrare, per poi, dopo, ...

Salve a tutti, sto studiando le serie numeriche e le serie di potenze ma ho qualche difficoltà. Innanzitutto vorrei capire una cosa : $\sum_{n=1}^\(+infty) (e^((n^2+n)/(n^2+1))-e)$ Che vuol dire studiare la seguente serie numerica? quali sono i passi che devo svolgere per ''studiare una serie''?Vorrei capire come funzionano questi esercizi dato che non sto capendo nulla Aiutatemi per favore

Esercizio 8 pagina 55 libro Esercizi di Matematica 1, Salsa - Squellati Domanda: dimostrare che $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\leq 2$ Risposta: $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} = 1+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2} = 1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)^2} \leq 1+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)}$ per cui, passando al limite per $n->\infty$ e ricordando che $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1$ (serie di Mengoli) si ricava che $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\leq2$. Mia domanda: in che modo viene fuori $k+1$ al denominatore?

Devo mostrare che \(e^{1/x}\) non è una distribuzione. Considerando \([0,1]\) (per def. all'esterno di \(]0,1[\) è nulla) si ha \begin{split} \int_{0}^{1}e^{1/x}\mbox{d}x &=\lim_{\epsilon \to 0^{+}} \int_{\epsilon}^{1}e^{1/x}\mbox{d}x \\ &=[\int_{1/2}^{1}+\int_{1/3}^{1/2}+...]e^{1/x}\mbox{d}x \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{1/(k+1)}^{1/k}e^{1/x}\mbox{d}x \end{split} Per il teorema della media integrale la somma non rispetta la condizione necessaria. E' corretto?

Ciao a tutti, sto facendo un po di esercizi sulle serie di funzioni e ho riscontrato un problema(onestamente non è che ci abbia capito molto in generale sulla parte pratica dell'argomento ) nel seguente esercizio e speravo poteste darmi una mano a risolverlo. Mi viene chiesto di determinare il raggio di convergenza $ρ$ e, quando possibile, il comportamento in $x= +- ρ$ 1) $\sum_{n=1}^infty n^(-1) x^(n^2)$ nella soluzione mi viene detto che gli unici coefficienti non nulli sono gli ...