Dimostrazione limite notevole e integrali
ciao ragazzi ho una semplice curiosità non so se quello che sto per dirvi e' una cosa innacetabile matematicamente. Allora visto che studiando i limiti notevoli mi sono imbattuto nella dimostrazione del classico limite notevole sinx/x è uguale a 1 per x tendente a zero. nella dimostrazione grafica della circonferenza sono rimasto un po perplesso per il calcolo dell area del settore circolare la quale esce x/2 che dopo ho capito banalmente. ma io avrei trovato quel area in un altro modo cioè sommando l area piu piccola che e senx/2 piu quel piccolo pezzo di area che confina tra la curva della circonferenza x e il seno di x. visto che non posso fare il disegno spero che capiate. quella piccola area io ho pensato di calcolarla con integrale cioe integrale di x in d(senx) cioe e possibile mettere nella variabile di integrazione una funzione oppure è una grossissima fesseria
se è cosi potete dirmi seguendo il mio ragionamento un modo per trovarmi quel area piccola ?? grazie anticipatamente
se è cosi potete dirmi seguendo il mio ragionamento un modo per trovarmi quel area piccola ?? grazie anticipatamente
Risposte
Se ho capito bene cosa intendi per "area piccola", dovrebbe essere la metà di un segmento circolare.
Se è così un metodo può essere questo:
Prendo in considerazione il "doppio" cioè anche la parte sotto l'asse delle $x$ a quel punto puoi notare che quell'area è la differenza tra l'area del settore circolare (la "fetta di torta") ed il triangolo isoscele formato dai due raggi e come base Il "doppio del seno" (e se vuoi come altezza "il coseno").
Cordialmente, Alex
P.S.: quella dimostrazione grafica io l'ho vista più spesso confrontando direttamente l'arco di cerchio con il segmento (il "seno")
Se è così un metodo può essere questo:
Prendo in considerazione il "doppio" cioè anche la parte sotto l'asse delle $x$ a quel punto puoi notare che quell'area è la differenza tra l'area del settore circolare (la "fetta di torta") ed il triangolo isoscele formato dai due raggi e come base Il "doppio del seno" (e se vuoi come altezza "il coseno").
Cordialmente, Alex
P.S.: quella dimostrazione grafica io l'ho vista più spesso confrontando direttamente l'arco di cerchio con il segmento (il "seno")
In pratica vuoi calcolare l'area dello "spicchio triangolare" limitato dall'asse x, dalla circonferenza e dalla retta ortogonale all'asse x che passa per il punto di coordinate $(\cos x,\sin x)$ sulla circonferenza, giusto? Alternativamente, l'area del triangolo "curvilineo di vertici i punti $(\cos x,\sin x)$, $(1,0)$ e $(\cos x,0)$. Per farlo, basta osservare che essendo $X^2+Y^2=1$ l'equazione della circonferenza e quindi, in forma esplicita, $Y=\sqrt{1-X^2}$ allora devi calcolare l'integrale
$$\int_{\cos x}^1\sqrt{1-X^2}\ dX$$
(osserva che le coordinate sono maiuscole, mentre $x$ rappresenta l'angolo).
però io ti chiedo: ma perché vuoi complicarti la vita a sto modo, figlio bello?
$$\int_{\cos x}^1\sqrt{1-X^2}\ dX$$
(osserva che le coordinate sono maiuscole, mentre $x$ rappresenta l'angolo).
però io ti chiedo: ma perché vuoi complicarti la vita a sto modo, figlio bello?
INTENDO L AREA DELIMITATA DAL SEGMENTO AP E DAL PEZZO DI CIRCONFERENZA. PERCHE LA MIA INTENZIONE SOLO PER PURO SCOPO ANALITICO E DI DIMOSTRAZIONE ERA QUELLA DI SOMMARE L AREA SOTTESA DEL TRIANGOLO OPB CON QUELLA AP PER VEDERE SE ALLA FINE USCIVA X/2. PERCIO QUALE DEI DUE POST CHE AVETE MESSO E GIUSTO ??
Il post che ho scritto va bene con la modifica che non devi raddoppiare niente in quanto quello che vuoi calcolare è già un segmento circolare.
Se vuoi, puoi cercare in rete la formula per il calcolo dell'area di un segmento circolare, si trova facilmente (qualche tempo avevo postato una mia "versione" ...)
Se vuoi, puoi cercare in rete la formula per il calcolo dell'area di un segmento circolare, si trova facilmente (qualche tempo avevo postato una mia "versione" ...)
In quello che ho scritto, basta che sottrai all'integrale l'area del triangolo PBA che vale $1/2(1-\cos x)\sin x$.
Domanda: ma perché stai urlando?
Domanda: ma perché stai urlando?
no non sto urlando mi e solo rimasto la scrittura in maiuscolo cmq l integrale mi esce meno radice di (1-x^2) che moltiplica (cos(x)-1) sempre se lo fatto giusto in poche parole dovrei sottrargli quel area che tu mi hai gia fatto integrale e trovo quell settore di circonferenza... cmq grazie siete molto gentili
cmq lo sottratto ma non mi esce x/2 avro sbagliato qualcosa...
Se non vuoi usare gli integrali e ponendo $x=OB$ abbiamo che l'area in questione è $(r^2*arccos(x/r))/2-(rsqrt(r^2-x^2))/2$ e nel caso che il raggio sia unitario diventa $(arccos(x))/2-(sqrt(1-x^2))/2$
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Vediamo
$$\int_{\cos x}^1\sqrt{1-X^2}\ dX=$$
posto $X=\cos t$ si ha per $X=\cos x\to t=x,\ X=1\to t=0$, e $dX=-\sin t\ dt$ da cui
$$\int_x^0 \sqrt{1-\cos^2 t}(-\sin t)\ dt=\int_0^x \sin^2 t\ dt=\frac{1}{2}\int_0^x[1-\cos(2t)]\ dt=\frac{1}{2}\left[t-\frac{\sin(2t)}{2}\right]_0^x=\frac{1}{2}[x-\sin(2x)]$$
Pertanto l'area che cerchi è
$$A=\frac{1}{2}[x-\sin(2x)]-\frac{1}{2}(1-\cos x)\sin x=\frac{1}{2}[x-2\sin x\cos x-\sin x+\sin x\cos x]=\frac{1}{2}[x-\sin x-\sin x\cos x]$$
e, anche se a prima vista non ci si crede, è una formula del tutto analoga a quella scritta da axpgn
$$\int_{\cos x}^1\sqrt{1-X^2}\ dX=$$
posto $X=\cos t$ si ha per $X=\cos x\to t=x,\ X=1\to t=0$, e $dX=-\sin t\ dt$ da cui
$$\int_x^0 \sqrt{1-\cos^2 t}(-\sin t)\ dt=\int_0^x \sin^2 t\ dt=\frac{1}{2}\int_0^x[1-\cos(2t)]\ dt=\frac{1}{2}\left[t-\frac{\sin(2t)}{2}\right]_0^x=\frac{1}{2}[x-\sin(2x)]$$
Pertanto l'area che cerchi è
$$A=\frac{1}{2}[x-\sin(2x)]-\frac{1}{2}(1-\cos x)\sin x=\frac{1}{2}[x-2\sin x\cos x-\sin x+\sin x\cos x]=\frac{1}{2}[x-\sin x-\sin x\cos x]$$
e, anche se a prima vista non ci si crede, è una formula del tutto analoga a quella scritta da axpgn
No, no, ci credo, ci credo ... 
ah ho capito l ultima cosa percio' nella dimostrazione quell' "x/2" e un approssimazione di questo risultato ?? no perche non riesco ancora a capire come faccia ad uscire x/2 in base a questi risultati
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