Domanda su derivabilità di una funzione a tratti
Salve a tutti oggi mi sono imbattuto su questo esercizio che mi ha lasciato qualche perplessità
Devo stabilire se la funzione f:R->R è derivabile in x=0
f(x)={ arctg (1/x^2) per x diverso da 0
{ pi/2 per x=0
Il mio dubbio è se derivando pi/2 rimane pi/2 o diventa 0, in quanto costante.
Il dubbio mi sorge in quanto il mio professore tempo fa (mi pare, ma non sono sicuro) mi sgridò perchè dissi che derivando la funzione p/2 diventa 0.
Grazie mille per le risposte
Devo stabilire se la funzione f:R->R è derivabile in x=0
f(x)={ arctg (1/x^2) per x diverso da 0
{ pi/2 per x=0
Il mio dubbio è se derivando pi/2 rimane pi/2 o diventa 0, in quanto costante.
Il dubbio mi sorge in quanto il mio professore tempo fa (mi pare, ma non sono sicuro) mi sgridò perchè dissi che derivando la funzione p/2 diventa 0.
Grazie mille per le risposte
Risposte
ma non ha senso derivare $pi/2$ in quanto la funzione assume questo valore in un singolo punto e non in un intervallo
il testo ti richiede di verificare se esiste finito
$ lim_(h -> 0)(f(0+h)-f(0))/h $
il testo ti richiede di verificare se esiste finito
$ lim_(h -> 0)(f(0+h)-f(0))/h $
Ma per studiare la derivabilità in questo caso non bisognerebbe verificare
lim x->0+ f'(x)= lim x->0- f'(x)=f'(0)
lim x->0+ f'(x)= lim x->0- f'(x)=f'(0)
io preferisco sempre applicare la definizione di derivata
tanto,con De L'Hopital il limite si calcola facilmente
tanto,con De L'Hopital il limite si calcola facilmente
Stormy,sinceramente quello che dici è un po' "ridondante": per applicare de l'Hopital dovresti avere, come ipotesi, che la funzione sia derivabile nel punto dato... e a quel punto vorresti usare de l'Hopital per dimostrarne la derivabilità?
Il modo giusto di procedere è calcolare il limite del rapporto incrementale destro e sinistro, possibilmente senza usare de l'Hopital, e verificare che essi coincidano, al fire di poter affermare che la funzione sia derivabile. Ovviamente, però, prima va verificata la continuità della funzione nel punto dato, in quanto, per un noto risultato, la non continuità implica sicuramente la non derivabilità.
Il modo giusto di procedere è calcolare il limite del rapporto incrementale destro e sinistro, possibilmente senza usare de l'Hopital, e verificare che essi coincidano, al fire di poter affermare che la funzione sia derivabile. Ovviamente, però, prima va verificata la continuità della funzione nel punto dato, in quanto, per un noto risultato, la non continuità implica sicuramente la non derivabilità.
no, voglio usare De L'Hopital per calcolare il limite che ho scritto :indipendentemente dal fatto che quel limite rappresenti una derivata è prima di tutto un limite in forma indeterminata per il quale sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di de L'Hopital
quanto alla continuità,non l'ho nemmeno menzionata perchè è immediato verificarla
quanto alla continuità,non l'ho nemmeno menzionata perchè è immediato verificarla
Forse non mi sono spiegato: se vuoi calcolare questo limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ usando de l'Hopital, come dici devi verificare che le ipotesi del teorema stesso. Questo implica dimostrare prima la derivabilità del numeratore in $h=0$ e, di conseguenza, della funzione $f$ nel punto $x=x_0$, ma quindi cerchi di verificare la derivabilità supponendo che la derivabilità ci sia.
ragioniamo un attimo
io voglio calcolare $ lim_(h -> 0)(arctan(1/h^2 )-pi/2)/h $
posso sempre supporre di avere a che fare con una $g(h)$ definita in questo modo:
$g(h)=0$ per $h=0$
$g(h)=arctg(1/h^2)-pi/2$ per $h ne 0$
fatta questa posizione,per applicare De L'Hopital è sufficiente che il numeratore sia derivabile intorno allo zero,al più escluso lo zero
io voglio calcolare $ lim_(h -> 0)(arctan(1/h^2 )-pi/2)/h $
posso sempre supporre di avere a che fare con una $g(h)$ definita in questo modo:
$g(h)=0$ per $h=0$
$g(h)=arctg(1/h^2)-pi/2$ per $h ne 0$
fatta questa posizione,per applicare De L'Hopital è sufficiente che il numeratore sia derivabile intorno allo zero,al più escluso lo zero
comunque,mi sembra che ci siano le ipotesi per svolgerla anche nella maniera esposta da Mr.xx
la derivata è regolare in $0$,la funzione ammette derivata in $0$ e si ha $ f'(0)=lim_(x -> 0)f'(x) $
la derivata è regolare in $0$,la funzione ammette derivata in $0$ e si ha $ f'(0)=lim_(x -> 0)f'(x) $
Vediamo: per la continuità si trova
$$\lim_{x\to 0}\arctan\frac{1}{x^2}=\frac{\pi}{2}$$
e non ci sono problemi.
Per quanto riguarda la derivabilità abbiamo
$$\lim_{h\to 0^\pm}\frac{\arctan(1/h^2)-\pi/2}{h}$$
Poniamo $t=\arctan(1/h^2)-\pi/2$: abbiamo allora che per $h\to 0^\pm$, $t\to 0^-$ (la funzione arcotangente è sempre minore di $\pi/2$) e inoltre che
$$\frac{1}{h^2}=\tan(t+\pi/2)=-\cot t=-\frac{1}{\tan t}$$
da cui
$$h=\pm\sqrt{-\tan t}$$
(lascio il segno meno a causa del fatto che nel limite $t<0$ e di conseguenza $\tan t<0$ e uso il $\pm$ davanti per tenere conto del fatto che nel limite di partenza $h\to 0^\pm$). Detto questo il limite diventa
$$\lim_{t\to 0^-}\frac{t}{\pm\sqrt{-\tan t}}=\lim_{t\to 0^-}\frac{(\sqrt{-t})^2}{\pm\sqrt{-t}}=\lim_{t\to 0^-}\pm\sqrt{-t}=0$$
(ho usato il fatto che la funzione $\tan t$ si comporta, asintoticamente, come la funzione $t$ per $t\to 0$).
Ne segue che la funzione data è derivabile con derivata nulla in $x=0$.
$$\lim_{x\to 0}\arctan\frac{1}{x^2}=\frac{\pi}{2}$$
e non ci sono problemi.
Per quanto riguarda la derivabilità abbiamo
$$\lim_{h\to 0^\pm}\frac{\arctan(1/h^2)-\pi/2}{h}$$
Poniamo $t=\arctan(1/h^2)-\pi/2$: abbiamo allora che per $h\to 0^\pm$, $t\to 0^-$ (la funzione arcotangente è sempre minore di $\pi/2$) e inoltre che
$$\frac{1}{h^2}=\tan(t+\pi/2)=-\cot t=-\frac{1}{\tan t}$$
da cui
$$h=\pm\sqrt{-\tan t}$$
(lascio il segno meno a causa del fatto che nel limite $t<0$ e di conseguenza $\tan t<0$ e uso il $\pm$ davanti per tenere conto del fatto che nel limite di partenza $h\to 0^\pm$). Detto questo il limite diventa
$$\lim_{t\to 0^-}\frac{t}{\pm\sqrt{-\tan t}}=\lim_{t\to 0^-}\frac{(\sqrt{-t})^2}{\pm\sqrt{-t}}=\lim_{t\to 0^-}\pm\sqrt{-t}=0$$
(ho usato il fatto che la funzione $\tan t$ si comporta, asintoticamente, come la funzione $t$ per $t\to 0$).
Ne segue che la funzione data è derivabile con derivata nulla in $x=0$.
a me sembra strano il risultato a cui sei arrivato in quanto per $x ne 0$ a me risulta $f'(x)=(-2x)/(1+x^4)$
Mi riguardo i conti: a farli così facile che abbia scritto una sciocchezza. 
EDIT: è certo che sono idiota! Ho calcolato la funzione reciproca nel limite. Corretto.
EDIT: è certo che sono idiota! Ho calcolato la funzione reciproca nel limite. Corretto.
Intanto ringrazio tutti per la disponibità
Ma calcolando direttamente f'(x) in x diverso da 0 ovvero f'(x)=−2x/(1+x^4)
e poi mettendo il limite per x->0 risulta =0 e quindi derivabile in x=0
E' giusto anche questo procedimento?
Ma calcolando direttamente f'(x) in x diverso da 0 ovvero f'(x)=−2x/(1+x^4)
e poi mettendo il limite per x->0 risulta =0 e quindi derivabile in x=0
E' giusto anche questo procedimento?
sì
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