Sviluppo di Taylor di funzione olomorfa

[De_Pippis]

Salve a tutti. Ho problemi a capire il ragionamento effettuato per risolvere questo esercizio.



Fino alla definizione del Raggio di convergenza è ok, ma nn riesco a capire il ragionamento effettuato nella seconda parte, che porta alla definizione della sommatoria.
Qualcuno potrebbe spiegare nel dettaglio il processo attuato nella soluzione riportata dal libro?
Grazie in anticipo a tutti

[De_Pippis]

Nell'immagine mi sn accorto che è stato ritagliato il valore del raggio dopo l'uguale...cmq il valore è 2.

[ciampax]

Un modo comodo di scrivere gli sviluppi di funzioni olomorfe è quello di usare gli sviluppi di McLaurin di funzioni note. Qui si usa
$$\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n$$
Dal momento che vuoi sviluppare in $z_0=3$, il precedente sviluppo dovrebbe avere la forma seguente
$$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-3)^n$$
Per utilizzare allora lo sviluppo di McLaurin scritto sopra, basta fare in modo che il denominatore $1-z$ diventi qualcosa del tipo $1+t$, dove $t$ deve assumere la forma $k(z-3)$ ($k$ costante) al fine di far comparire, nello sviluppo, le potenze del tipo $(z-3)^n$). Osservando che
$1-z=1-z+3-3=-2-(z-3)=-2[1+(z-3)/2]$
si ottiene quanto richiesto scegliendo $t=(z-3)/2$.