Dimostrazione continuità
Salve ragazzi, ho un dubbio su questa dimostrazione
Teorema
$f,g:Xrarr R$ misurabili allora $f+g$ misurabile
Dimostrazione
$F:R^2rarr R$ tale che $F(a+b)=a+b AA (a,b)in R^2$ è continua
Infatti, è continua in $(a_0,b_0)in R^2 hArr \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0$ tale che $||(a,b)-(a_0,b_0)||< \delta \Rightarrow |F(a,b)-F(a_0,b_0)|< \varepsilon $
$ |F(a,b)-F(a_0,b_0)|=|(a+b)-(a_0+b_0)|=|(a-a_0)+(b-b_0)|\leq |a-a_0|+|b-b_0|\leq 2||(a,b)-(a_0,b_0)||$
Quindi F uniformemente continua, quindi continua.
Sia $h:X\rightarrow R$ tale che $h(x)=F(f(x),g(x))= f(x)+g(x)$. Allora h è misurabile per un teorema precedente che non sto adesso a scrivere.
Il dubbio che ho io riguarda la dimostrazione della continuità della funzione F e soprattutto nell'ultima disuguaglianza.
Qualcuno di voi può farmi capire perchè fa questo passaggio?
Grazie mille
Teorema
$f,g:Xrarr R$ misurabili allora $f+g$ misurabile
Dimostrazione
$F:R^2rarr R$ tale che $F(a+b)=a+b AA (a,b)in R^2$ è continua
Infatti, è continua in $(a_0,b_0)in R^2 hArr \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0$ tale che $||(a,b)-(a_0,b_0)||< \delta \Rightarrow |F(a,b)-F(a_0,b_0)|< \varepsilon $
$ |F(a,b)-F(a_0,b_0)|=|(a+b)-(a_0+b_0)|=|(a-a_0)+(b-b_0)|\leq |a-a_0|+|b-b_0|\leq 2||(a,b)-(a_0,b_0)||$
Quindi F uniformemente continua, quindi continua.
Sia $h:X\rightarrow R$ tale che $h(x)=F(f(x),g(x))= f(x)+g(x)$. Allora h è misurabile per un teorema precedente che non sto adesso a scrivere.
Il dubbio che ho io riguarda la dimostrazione della continuità della funzione F e soprattutto nell'ultima disuguaglianza.
Qualcuno di voi può farmi capire perchè fa questo passaggio?
Grazie mille
Risposte
Mi potete aiutare per favore???
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