Teoremi di Fubini e Tonelli
Ciao, non riesco a capire gli enunciati dei teoremi di Fubini e Tonelli. Non mi servono le dimostrazioni. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmeli in maniera semplice? Grazie!
Risposte
Sebbene la sostanza sia sempre quella ci sono modi diversi per enunciarli, hai un testo di riferimento, o puoi scrivere come ti sono stati enunciati?
Ecco l'enunciato che ho trovato sul mio libro.
Sia f una funzione sommabile in $RR^n text(x) RR^m$.
Allora:
1)La funzione $x mapsto f(x,y)$ è sommabile in $RR^n$ per quasi ogni y in $RR^m$
2)la funzione $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$ è sommabile in $RR^m$ e risulta
$int_{RR^n text(x) RR^m}f(x,y)dxdy=int_{RR^m}(int_{RR^n}f(x,y)dx)dy$.
Il libro che uso é Analisi Matematica 2 di Di Fazio-Zamboni. In particolare non capisco la simbologia usata nei punti 1 e 2. Non ho mai incontrato finora queste freccette.
Il teorema di Tonelli devo postarlo anche oppure non è necessario?
Sia f una funzione sommabile in $RR^n text(x) RR^m$.
Allora:
1)La funzione $x mapsto f(x,y)$ è sommabile in $RR^n$ per quasi ogni y in $RR^m$
2)la funzione $y mapsto int_{RR^n}f(x,y)dx$ è sommabile in $RR^m$ e risulta
$int_{RR^n text(x) RR^m}f(x,y)dxdy=int_{RR^m}(int_{RR^n}f(x,y)dx)dy$.
Il libro che uso é Analisi Matematica 2 di Di Fazio-Zamboni. In particolare non capisco la simbologia usata nei punti 1 e 2. Non ho mai incontrato finora queste freccette.
Il teorema di Tonelli devo postarlo anche oppure non è necessario?
Forse diventa tutto più chiaro dando un nome alle funzioni ausiliarie che compaiono nell'enunciato. Non si perde troppa generalità supponendo che la \(f\) sia a valori reali.
Per ipotesi hai una funzione di due variabili (vettoriali) sommabile (nota che il fatto che la \(f\) sia sommabile è un'ipotesi).
La funzione che ottieni fissando una \(y\) (che quindi diventa una funzione in una variabile) è sommabile per quasi ogni \(y\) (suppongo tu conosca la terminologia).
Cosa hai concluso: se è sommabile la funzione in due variabili, è sommabile (quasi ovunque) anche la funzione in una variabile che ottengo fissandone una delle due.
Può essere riscritta come
Cosa hai ottenuto: Per quanto detto prima, per (quasi) ogni \(y\) ottieni una funzione sommabile, ora costruisci una funzione che ad \(y\) associa l'integrale della funzione sommabile associata a quel \(y\). La cosa formidabile è che questa funzione è sommabile e se integri quest'ultima funzione rispetto ad \(y\) ottieni lo stesso valore dell'integrale della tua \(f\). In poche parole questo giustifica (nelle ipotesi del teorema) l'integrazione di una funzione in due variabili "integrando prima rispetto ad una e poi rispetto all'altra".
Se scrivi anche quello cerco di attenermi alle notazioni che conosci.
Sia \(f : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) sommabile
Per ipotesi hai una funzione di due variabili (vettoriali) sommabile (nota che il fatto che la \(f\) sia sommabile è un'ipotesi).
Allora:
- La funzione \(\varphi _y : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \mapsto f(x,y)\) è sommabile per quasi ogni \(y \in \mathbb{R}^m\)
La funzione che ottieni fissando una \(y\) (che quindi diventa una funzione in una variabile) è sommabile per quasi ogni \(y\) (suppongo tu conosca la terminologia).
Cosa hai concluso: se è sommabile la funzione in due variabili, è sommabile (quasi ovunque) anche la funzione in una variabile che ottengo fissandone una delle due.
- La funzione \(\displaystyle \psi : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} , \ y \mapsto \int_{\mathbb{R}^n} f(x,y) {\rm d}x\) è sommabile in \(\mathbb{R}^m\) e risulta
\[
\int_{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m} f(x,y) {\rm d} x {\rm d} y = \int_{\mathbb{R}^m} \left ( \int_{\mathbb{R}^n} f(x,y) {\rm d} x \right ) {\rm d} y
\]
Può essere riscritta come
- La funzione \(\displaystyle \psi : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} , \ y \mapsto \int_{\mathbb{R}^n} \varphi _y (x) {\rm d}x\) è sommabile in \(\mathbb{R}^m\) e risulta
\[
\int_{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m} f(x,y) {\rm d} x {\rm d} y = \int_{\mathbb{R}^m} \psi (y) {\rm d} y
\]
Cosa hai ottenuto: Per quanto detto prima, per (quasi) ogni \(y\) ottieni una funzione sommabile, ora costruisci una funzione che ad \(y\) associa l'integrale della funzione sommabile associata a quel \(y\). La cosa formidabile è che questa funzione è sommabile e se integri quest'ultima funzione rispetto ad \(y\) ottieni lo stesso valore dell'integrale della tua \(f\). In poche parole questo giustifica (nelle ipotesi del teorema) l'integrazione di una funzione in due variabili "integrando prima rispetto ad una e poi rispetto all'altra".
"nuccio88":
Il teorema di Tonelli devo postarlo anche oppure non è necessario?
Se scrivi anche quello cerco di attenermi alle notazioni che conosci.
1)La funzione $ x mapsto f(x,y) $ è sommabile in $ RR^n $ per quasi ogni y in $ RR^m $
Perché questa è una funzione che si ottiene fissando y se prima della freccetta c'è la variabile x? E cosa vuol dire sommabile per quasi ogni y?
Perché questa è una funzione che si ottiene fissando y se prima della freccetta c'è la variabile x? E cosa vuol dire sommabile per quasi ogni y?
"nuccio88":
1)La funzione $ x mapsto f(x,y) $ è sommabile in $ RR^n $ per quasi ogni y in $ RR^m $
Perché questa è una funzione che si ottiene fissando y se prima della freccetta c'è la variabile x?
\(\displaystyle f(x,y) : (x,y) \mapsto 2x + y^2\) fissiamo \(y = 3\) otteniamo la funzione \(g(x) = f(x,3) : x \mapsto 2x + 9\).
"nuccio88":
E cosa vuol dire sommabile per quasi ogni y?
Che la funzione è sommabile per ogni \(y \in \mathbb{R}^m\) a meno di un insieme di misura nulla (secondo Lebesgue). Più formalmente, \(\exists E \subset \mathbb{R}^m\) tale che \(\mu (E) = 0\) e la funzione è sommabile \(\forall y \in \mathbb{R}^m \setminus E\).
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