Analisi matematica di base
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Salve, ho un problema con un limite in 2 variabili
Ho provato con i vari metodi per dimostrare la non esistenza del limite ma non sono riuscito a trovare niente, dunque suppongo che il limite esista.
Dovrei allora trovare delle maggiorazioni adeguate e dimostrare a cosa tende il limite.
$ \lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\frac{h^4 k^2}{h^6+k^4}}{\sqrt{h^2+k^2}} $
Sapendo che $ (h^3)^2 + (k^2)^2 ≥ 2|h^3k^2| $
Sono arrivato a $ \lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\frac{h^4 k^2}{h^6+k^4}}{\sqrt{h^2+k^2}} ≤ \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2|h^3|sqrt(h^2+k^2)] $
Poi però non saprei come procedere
In realtà avevo pensato di fare
$ \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2|h^3|sqrt(h^2+k^2)] ≤ \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2|h^3|sqrt(h^2)] = \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2h^4) = 1/2 $
Però risulta sbagliato quindi non ...
Buonasera, stavo seguendo un esempio su questo argomento, e cercavo di verificarlo.
L'esempio dice:
"Controlliamo se il campo
$F=-iy +jx$
è conservativo o almeno localmente conservativo nel piano.
Calcoliamo $\nabla\timesF$. Poiché
$delxF_2-delyF_1 = 1-(-1)=2$
il campo non è irrotazionale in alcuna regione del piano."
Quello che non riesco a fare è rifare quel calcolo! Probabilmente mi sono arrugginito con le derivate dei versori
Qualcuno mi può dare una rispolverata spiegandomi come si ...
Devo calcolare il limite per (x,y) tendente a (0,0) della funzione y^2/x . Sostituendo le coordinate polari trovo 0, ma lungo l'asse x= 0, il limite vale infinito . Ma l'uso delle coordinate polari non è una condizione sufficiente al calcolo del limite? Devo sempre andare a verificare cosa succede sugli assi o sulle rette passanti per l'origine?
Ciao a tutti.
Ho provato a fare il seguente esercizio ma non mi tornano delle cose.
Es. Calcolare un'approssimazione di $cos(\frac{1}{5})$ con un errore minore di $10^ {-2}$.
Ho fatto l'esercizio in questo modo: sia $f(x)=cosx$ e $T_{n,0}$ il polinomio di Taylor di ordine $n$ nel punto $0$.
$|f(x)-T_{n,0}(x)|=\abs{\frac{f^{(n+1)}(\xi)x^{n+1}}{(n+1)!}}=\frac{|f^{(n+1)}(\xi)||x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ maggiorando la derivata $n+1$-esima con $1$ (tanto verrà un seno o un coseno) e prendendo ...
Avendo $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+e^(x^2+z^2)$ e procedendo col solito metodo (non riporto il procedimento ma ho verificato che sia corretto) si ottiene che l'unico punto critico è l'origine $ O(0,0,0) $ e
l'Hessiana relativa è $H_{f} (0,0,0) = ((4,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$ che è semidefinita positiva.
Ora, si ha $f(0,0,0)=1$ ma non so come portare a termine lo studio.
Nel caso di studio inconcludente tramite Hessiana in $RR^2$ utilizzo solitamente il metodo del segno studiando per esempio la funzione nell'intorno del ...
Sia $f(x) = { ((x^4y^2)/(x^6+y^4)), (0):}$
Dove il secondo caso si ha quando $(x,y) =(0,0) $
Devo determinare se $f$ è derivabile in $(0,0)$
Allora studio le derivate parziali:
$ {\partial f}/{\partial x}(\mathbf (0,0)) = \lim_{t \to 0} ( f(t,0)-f(0,0) )/t $
Ora però non saprei come procedere per risolvere questo limite (se sostituisco i valori nella funzione iniziale mi ritrovo una forma indeterminata)
Ho la funzione definita per casi : f(0,0) = 0 e f(x,y) = x^3*y/(x^2+ y^2) per (x,y) diverso da (0,0) . Per calcolare le derivate prime nel punto (0,0) il mio libro applica le regole di derivazione a f(x,y) e poi calcola il limite per (x,y) tendente a (0,0) della funzione, dimostrando che è 0. La mia domanda è: perché questo non si poteva dedurre dal valore f(0,0)? Cioè, se la funzione in quel punto è costantemente uguale a 0, non si sarebbe potuto dedurre da questo che anche la derivata è nulla ...
Buongiorno a tutti, qualcuno saprebbe darmi una mano con questa serie numerica? Bisogna stabilire se essa converge o no.
$ sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n)arctan(n) $
Ho pensato di utilizzare il criterio del confronto, considerando che arctan(n) è compreso tra $ -pi/2 $ e $ pi/2 $ .
Pertanto la serie maggiorata con cui confrontare la serie iniziale sarebbe:
$ pi/2 sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n) $
ma arrivati a questo punto mi blocco. È corretto il ragionamento? Consigli? Grazie!
Ho la funzione f(0,y) = 0 e f(x,y) = x^2* sin(y/x) per x diverso da 0 e devo calcolare le derivate seconde miste. Il mio libro, nell'esempio risolto, riporta il calcolo della derivata prima rispetto ad x nel punto (0,y), ottenendo 0. Poi calcola la derivata prima rispetto ad y nel generico punto (x,y). Dopo le derivate prime, calcola quindi il limite del rapporto incrementale di ciascuna delle due derivate nel punto (0,0). Ma quello che non capisco riguarda le derivate prime: se calcolo la ...
La definizione di curva parametrizzata chiusa dice:
Una curva parametrizzata chiusa è un’applicazione $σ:[a,b] → R^n$ con $σ(a)=σ(b)$.
Con questa definizione la curve chiuse non sono mai iniettive.
Non capisco perché si usa sempre questa definizione.
Si potrebbe definire in modo iniettivo ?
Ad esempio così:
Una curva parametrizzata chiusa è un’applicazione $σ:[a,b) → R^n$ con $lim σ(t)_{t \to b}=σ(a)$.
Le mie dispense di Analisi danno le seguenti definizioni:
Un insieme si dice connesso se non esistono due aperti disgiunti U, V $sub$ $RR$^n tali che A $sub$ U $uu$ V con A $nn$ U $!=$ insieme vuoto, A $nn$ V $!=$ insieme vuoto.
Si dirà connesso per archi se per ogni a, b $in$ A esiste una curva continua g: [c, d]$\rightarrow$A tale che g(c)=a, g(d)=b.
Non riesco a capire la ...
Fissato un $alpha in C $ e $r in R$ con $r>0$, sia $ D={z in C : |z-alpha|<=r} $.
Sia, inoltre, $f : D->C$ una funzione olomorfa
Vorrei sapere se è vera questa affermazione $ lim_(r -> 0) max(|f(z)|)=|f(alpha)| $
Grazie.
Salve,
ho diciamo una perplessità su questa funzione.
Il problema che intendo risolvere è legato alla stretta decrescenza di $arccos(x)$
allora intanto è una composizione di funzioni, in particolare:
$f(x)=arccos(x),$ $f:[-1,1] -> [0,pi]$
$g(x)=(1-x^2)/(1+x^2),$ $f:R -> ]-1,1[$ (dimostrato in un esercizio postato l'altro ieri)
$z(x)=fcircg:R -> [0,pi],$ $fcircg: x|->arccos((1-x^2)/(1+x^2))$
ora, il problema è qui.
So che $z(x)<pi, forallx inR$ infatti l'equazione non è mai risolta.
$arccos((1-x^2)/(1+x^2))=pi => (1-x^2)/(1+x^2)=-1 => 1-x^2=-1-x^2 => 2=0$ palesemente falso, ...
Salve a tutti ragazzi, ho un problema nel risolvere questa serie numerica:
$ sum_(n = 1)^(oo) ([2^x-4]^n)/(2^n+log(n^2-1)) $ $x in R$
L'unica cosa che sono riuscito a dire (e non sono nemmeno certo al 100% di ciò), è che per qualsiasi valore di x, la serie è a segno alterno.
Dopo ciò non so come continuare a studiare il carattere della serie. Potete aiutarmi? Grazie mille
Salve ho un problema con questi due esercizi, che sono simili:
Determinare se esistono e calcolare i seguenti limiti:
1) $lim_((x,y)->(0,0))((x^3*y^3)/(x^3 +y^3))$
2) $lim_((x,y)->(0,0))((x^3*y^2)/(x^2 -y^2))$
In entrambi i casi ho prima fatto il limite sostituendo $y=\lambda *x$, poi sostituendo $y=x^\alpha$ $\alpha >0$. Questi limiti mi vengono 0 e quindi mi fanno supporre che i limiti siano effettivamente 0.
Come verifica finale faccio le maggiorazioni:
1) $0<= ((x^3*y^3)/(x^3 +y^3)) <= (x^3 +y^3)/4 = 0$ --> verificato limite=0
2) non trovo maggiorazioni ...
Salve a tutti,
mi sono imbattuto in questo esercizio di Analisi 2 in cui veniva richiesto di calcolare max e min della funzione
f(x,y)=cos(x+y)+sin(x)+sin(y)
Seguendo l'approccio del teorema di Fermat ho impostato il sistema, uguagliando il gradiente della funzione a 0.
Solo che non riesco a trovare dei valori unici per x e y, bensì ottengo il valore x=y.
Ho sbagliato qualcosa nel procedimento descritto? Sareste così gentili da propormi la soluzione con spiegazione passo passo?
Grazie ...
Salve a tutti.
Ho un dubbio che riguarda un esempio che ritrovo sugli appunti di un ragazzo che aiuto per l'esame di analisi 2. Sui suoi appunti leggo:
$\mathbb{R}^2\setminus\{\mbox{retta}\}$ è un insieme semplicemente connesso.
Questa cosa è vera? Mi pare proprio di no, non essendo connesso non può essere semplicemente connesso, mi sbaglio? Potreste per favore chiarirmi le idee?
Grazie mille.
Salve, vorrei chiedere un aiuto in merito al teorema sulla condizione sufficiente per la ricerca degli estremi relativi.
Il teorema dice che data f:I->R una funzione, e sia x punto interno all'intervallo I, se f è decrescente (crescente) in (x-\delta,x) e f è crescente (decrescente) in (x,x+\delta) allora x è punto di minimo (massimo) relativo per f.
Nelle ipotesi non è necessario aggiungere che la funzione f non presenti discontinuità di prima specie, infatti se si considera la funzione f(x)= ...
Ciao a tutti. Vi posto il seguente esercizio:
Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale: $ y'+xy+x/sqrt(y)=0 $
Precisare il più ampio intervallo di definizione.
Essendo un' equazione di Bernoulli scrivo: $ y'= -xy-x/sqrt(y) $
divido per $sqrt(y)$ e ottengo: $ (y')/(sqrt(y))= -xy^(3/2) $ (equazione omogenea)
Pongo $ z(x)=y^(3/2) $ allora $ z'(x)=3/2sqrt(y)y'$
Mi ritrovo a risolvere un'equazione a variabili separabili e trovo l'integrale generale dell'eq omogenea: ...
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