Analisi matematica di base

Ciao, devo dimostrare che $ lim_(n -> \infty) int_(0)^(pi) sin^n(x) dx = 0 $. La prima idea che mi era venuta in mente era quella di dimostrare che $ f_n(x)=sin^n(x) $ convergesse uniformemente in $ [0, pi] $ per applicare il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Mi sono accorto che in questo intervallo essa converge a $ f(x)={ ( 1 rarr x=pi/2),( 0 rarr x\in [0,pi] - {pi/2}):} $. Dunque non può esserci convergenza uniforme in $ [0, pi] $. Potreste darmi un suggerimento per arrivare alla soluzione? Grazie!

Ciao! 1) mi sapreste dire qualche modo veloce per disegnare grafici partendo da quelli noti? Intendo: da f(x), f(x+k), f(kx), kf(x), ecc. 2) ho sentito un professore che diceva: prima di derivare, studiate dove si puo' derivare... ma che significa?

Ciao a tutti! Oggi mi sono imbattuto in questo limite: $ lim x->0 ((x+arctan(x^3-x))/(x^3)) $ Pur essendo un lmite che tende a 0, non è possibile utilizzare le equivalenze asintotiche. Quindi ho pensato di risolverlo con la regola di de l'Hopital, tuttavia il calcolo mi sembra troppo laborioso, c'è qualcosa che non ho considerato? Grazie in anticipo a tutti coloro che mi risponderanno.

Ragazzi non riesco ad applicare la regola dei fratti per il delta uguale a zero. Nel momento in cui il numeratore è di grado inferiore riesco ad estrarre le radici del delta e risolvere ma quando il numeratore ha lo stesso grado o superiore come devo fare ..? e come fare per effettuare la divisione tra polinomi? $\int (x^2-x+1)/(x^2-2x+1) dx$

Salve, vorrei chiedervi se la dimostrazione svolta da me di questa proposizione che riguarda le funzioni convesse è esatta. La proposizione afferma che se f è una funzione convessa in un intervallo I, allora f è lipschtziana in un intervallo [a,b] contenuto in I. Dim. Poichè f convessa in I, essa sarà continua nei punti interni di I e quindi in qualsiasi intervallo contenuto in I aperto, in particolare in [a,b]. In [a,b] la funzione rapporto incrementale è limitata e quindi dalla definizione di ...

Buon pomeriggio gente. Studiando la funzione[size=150] \( \frac{\sqrt{1-\left|\sin\left(x\right)\right|}}{\cos x} \)[/size] sono arrivato a studiare il limite per \( x\rightarrow\pi/2 \) Il risultato dovrebbe essere [size=150]\( \frac1{\sqrt2} \)[/size] per[size=150] \(x\rightarrow\frac{\pi^-}2 \)[/size], mentre dovrebbe essere [size=150]\(-\frac1{\sqrt2} \)[/size] per [size=150]\(x\rightarrow\frac{\pi^+}2 \)[/size] Il problema è che a me il limite viene in entrambi i casi [size=150]\( ...

Ciao a tutti, mi sono imbattuto nuovamente su un integrale la cui tipologia spesso mi crea problemi: $ int (x-1)/(x^2+x+1)dx $ Essendo il delta del denominatore minore di zero, avevo pensato di ricondurlo alla seguente forma: $ int (Ax)/(x^2+x+1)dx + intB/(x^2+x+1)dx $ Tuttavia, non mi sembra che questa soluzione mi porti a grandi vantaggi... Suggerimenti? Grazie in anticipo a tutti

Supponiamo che \(f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^n \setminus \{ 0 \} )\), \(| \nabla f(x) | \le |x|^{-n-1}\) per \( x \ne 0\) e che \(\int_{|x|=r} f(x) \, dx = 0 \ \forall \, r>0\). Vorrei mostrare che \(|f(x)|\le C |x|^{-n}\) per una certa costante \(C >0 \). Una strada potrebbe essere un integrale di linea, ma ad un certo punto non riesco ad aggirare gli ostacoli: infatti se \(\mathbf{r}(t) : [a,b] \to C\) è una parametrizzazione biiettiva della curva \(C\), \(a\) fissato e ...

Salve, ho un problema con un limite in 2 variabili Ho provato con i vari metodi per dimostrare la non esistenza del limite ma non sono riuscito a trovare niente, dunque suppongo che il limite esista. Dovrei allora trovare delle maggiorazioni adeguate e dimostrare a cosa tende il limite. $ \lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\frac{h^4 k^2}{h^6+k^4}}{\sqrt{h^2+k^2}} $ Sapendo che $ (h^3)^2 + (k^2)^2 ≥ 2|h^3k^2| $ Sono arrivato a $ \lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\frac{h^4 k^2}{h^6+k^4}}{\sqrt{h^2+k^2}} ≤ \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2|h^3|sqrt(h^2+k^2)] $ Poi però non saprei come procedere In realtà avevo pensato di fare $ \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2|h^3|sqrt(h^2+k^2)] ≤ \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2|h^3|sqrt(h^2)] = \lim_{(h,k)\to (0,0)} (h^4)/[2h^4) = 1/2 $ Però risulta sbagliato quindi non ...

Buonasera, stavo seguendo un esempio su questo argomento, e cercavo di verificarlo. L'esempio dice: "Controlliamo se il campo $F=-iy +jx$ è conservativo o almeno localmente conservativo nel piano. Calcoliamo $\nabla\timesF$. Poiché $delxF_2-delyF_1 = 1-(-1)=2$ il campo non è irrotazionale in alcuna regione del piano." Quello che non riesco a fare è rifare quel calcolo! Probabilmente mi sono arrugginito con le derivate dei versori Qualcuno mi può dare una rispolverata spiegandomi come si ...

Devo calcolare il limite per (x,y) tendente a (0,0) della funzione y^2/x . Sostituendo le coordinate polari trovo 0, ma lungo l'asse x= 0, il limite vale infinito . Ma l'uso delle coordinate polari non è una condizione sufficiente al calcolo del limite? Devo sempre andare a verificare cosa succede sugli assi o sulle rette passanti per l'origine?

Ciao a tutti. Ho provato a fare il seguente esercizio ma non mi tornano delle cose. Es. Calcolare un'approssimazione di $cos(\frac{1}{5})$ con un errore minore di $10^{-2}$. Ho fatto l'esercizio in questo modo: sia $f(x)=cosx$ e $T_{n,0}$ il polinomio di Taylor di ordine $n$ nel punto $0$. $|f(x)-T_{n,0}(x)|=\abs{\frac{f^{(n+1)}(\xi)x^{n+1}}{(n+1)!}}=\frac{|f^{(n+1)}(\xi)||x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ maggiorando la derivata $n+1$-esima con $1$ (tanto verrà un seno o un coseno) e prendendo ...

Avendo $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+e^(x^2+z^2)$ e procedendo col solito metodo (non riporto il procedimento ma ho verificato che sia corretto) si ottiene che l'unico punto critico è l'origine $ O(0,0,0) $ e l'Hessiana relativa è $H_{f} (0,0,0) = ((4,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$ che è semidefinita positiva. Ora, si ha $f(0,0,0)=1$ ma non so come portare a termine lo studio. Nel caso di studio inconcludente tramite Hessiana in $RR^2$ utilizzo solitamente il metodo del segno studiando per esempio la funzione nell'intorno del ...

Sia $f(x) = { ((x^4y^2)/(x^6+y^4)), (0):}$ Dove il secondo caso si ha quando $(x,y) =(0,0) $ Devo determinare se $f$ è derivabile in $(0,0)$ Allora studio le derivate parziali: $ {\partial f}/{\partial x}(\mathbf (0,0)) = \lim_{t \to 0} ( f(t,0)-f(0,0) )/t $ Ora però non saprei come procedere per risolvere questo limite (se sostituisco i valori nella funzione iniziale mi ritrovo una forma indeterminata)

Ho la funzione definita per casi : f(0,0) = 0 e f(x,y) = x^3*y/(x^2+ y^2) per (x,y) diverso da (0,0) . Per calcolare le derivate prime nel punto (0,0) il mio libro applica le regole di derivazione a f(x,y) e poi calcola il limite per (x,y) tendente a (0,0) della funzione, dimostrando che è 0. La mia domanda è: perché questo non si poteva dedurre dal valore f(0,0)? Cioè, se la funzione in quel punto è costantemente uguale a 0, non si sarebbe potuto dedurre da questo che anche la derivata è nulla ...

Buongiorno a tutti, qualcuno saprebbe darmi una mano con questa serie numerica? Bisogna stabilire se essa converge o no. $ sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n)arctan(n) $ Ho pensato di utilizzare il criterio del confronto, considerando che arctan(n) è compreso tra $ -pi/2 $ e $ pi/2 $ . Pertanto la serie maggiorata con cui confrontare la serie iniziale sarebbe: $ pi/2 sum_(n = 2)^(+oo) log((n+1)/n) $ ma arrivati a questo punto mi blocco. È corretto il ragionamento? Consigli? Grazie!

Ho la funzione f(0,y) = 0 e f(x,y) = x^2* sin(y/x) per x diverso da 0 e devo calcolare le derivate seconde miste. Il mio libro, nell'esempio risolto, riporta il calcolo della derivata prima rispetto ad x nel punto (0,y), ottenendo 0. Poi calcola la derivata prima rispetto ad y nel generico punto (x,y). Dopo le derivate prime, calcola quindi il limite del rapporto incrementale di ciascuna delle due derivate nel punto (0,0). Ma quello che non capisco riguarda le derivate prime: se calcolo la ...

La definizione di curva parametrizzata chiusa dice: Una curva parametrizzata chiusa è un’applicazione $σ:[a,b] → R^n$ con $σ(a)=σ(b)$. Con questa definizione la curve chiuse non sono mai iniettive. Non capisco perché si usa sempre questa definizione. Si potrebbe definire in modo iniettivo ? Ad esempio così: Una curva parametrizzata chiusa è un’applicazione $σ:[a,b) → R^n$ con $lim σ(t)_{t \to b}=σ(a)$.

Le mie dispense di Analisi danno le seguenti definizioni: Un insieme si dice connesso se non esistono due aperti disgiunti U, V $sub$ $RR$^n tali che A $sub$ U $uu$ V con A $nn$ U $!=$ insieme vuoto, A $nn$ V $!=$ insieme vuoto. Si dirà connesso per archi se per ogni a, b $in$ A esiste una curva continua g: [c, d]$\rightarrow$A tale che g(c)=a, g(d)=b. Non riesco a capire la ...

Fissato un $alpha in C $ e $r in R$ con $r>0$, sia $ D={z in C : |z-alpha|<=r} $. Sia, inoltre, $f : D->C$ una funzione olomorfa Vorrei sapere se è vera questa affermazione $ lim_(r -> 0) max(|f(z)|)=|f(alpha)| $ Grazie.