Massimi e minimi due variabili funzione trigonometrica
Salve a tutti,
mi sono imbattuto in questo esercizio di Analisi 2 in cui veniva richiesto di calcolare max e min della funzione
f(x,y)=cos(x+y)+sin(x)+sin(y)
Seguendo l'approccio del teorema di Fermat ho impostato il sistema, uguagliando il gradiente della funzione a 0.
Solo che non riesco a trovare dei valori unici per x e y, bensì ottengo il valore x=y.
Ho sbagliato qualcosa nel procedimento descritto? Sareste così gentili da propormi la soluzione con spiegazione passo passo?
Grazie infinite.
mi sono imbattuto in questo esercizio di Analisi 2 in cui veniva richiesto di calcolare max e min della funzione
f(x,y)=cos(x+y)+sin(x)+sin(y)
Seguendo l'approccio del teorema di Fermat ho impostato il sistema, uguagliando il gradiente della funzione a 0.
Solo che non riesco a trovare dei valori unici per x e y, bensì ottengo il valore x=y.
Ho sbagliato qualcosa nel procedimento descritto? Sareste così gentili da propormi la soluzione con spiegazione passo passo?
Grazie infinite.
Risposte
Sei sicuro di ottenere x=y?
Mi sembra che nel sistema vengono
cos x - cos y = 0
-sin (x+y) + cos x = 0
Mi sembra che nel sistema vengono
cos x - cos y = 0
-sin (x+y) + cos x = 0
Quello che ottieni è giusto però devi andare avanti nella risoluzione.
Trovare i punti a gradiente nullo significa risolvere il sistema
$$
\begin{cases}f_x(x,y)=0 \\f_y(x,y)=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-sin(x+y)+cos(x)=0 \\-sin(x+y)+cos(y)=0\end{cases}
$$
dal quale otteniamo
$$
\begin{cases}sin(x+y)=cos(x)\\sin(x+y)=cos(y)\end{cases}
$$
sostituendo la prima equazione nella seconda otteniamo
$$
\begin{cases}sin(x+y)=cos(x)\\cos(x)=cos(y)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}sin(x+y)=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
e qui è dove ti sei fermato tu (più o meno diciamo, nel senso che avevi avuto la mia stessa svista) , adesso devi sostituire il risultato della seconda nella prima, ottenendo così
$$
\begin{cases}sin(x\pm x +2\bar{k}\pi)=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
Ora per le formule di addizione del seno abbiamo che $sin(x\pm x +2\bar{k}\pi)=sin(x\pm x)cos(2\bar{k}\pi)+sin(2\bar{k}\pi)cos(x\pm x)=sin(x\pm x)$
per cui otteniamo il sistema
$$
\begin{cases}sin(x\pm x )=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
A questo punto studiamo la prima equazione per il caso $+$ e per il caso $-$.
Nel caso $+$ otteniamo $sin(2x)=cos(x)$ e per le formule di duplicazione del seno si ha che $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$ per cui il sistema diventa nel caso $+$
$$
\begin{cases}2sin(x)cos(x)=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}sin(x)=\frac{1}{2} \vee cos(x)=0 \\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
risolvendo le prime equazioni trigonometriche arriviamo al sistema
$$
\begin{cases}x=\frac{\pi}{6}+2K\pi\vee x=\frac{5}{6}\pi+2K\pi \vee x=\frac{\pi}{2}+2K\pi \vee x=\frac{3}{2}\pi+2K\pi \\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
Ora definendo $k=\bar{k}\pm K$ (notiamo che $k$ così definito è ancora un numero intero) otteniamo le seguenti famiglie di punti stazionari:
$$
(x,y)=(\frac{\pi}{6}+2k\pi , \frac{\pi}{6}+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{\pi}{6}+2k\pi ,- \frac{\pi}{6}+2k\pi)
$$
$$
(x,y)=(\frac{5}{6}\pi+2k\pi , \frac{5}{6}\pi+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{5}{6}\pi+2k\pi , -\frac{5}{6}\pi+2k\pi)
$$
$$
(x,y)=(\frac{\pi}{2}+2k\pi , \frac{\pi}{2}+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{\pi}{2}+2k\pi , -\frac{\pi}{2}+2k\pi)
$$
$$
(x,y)=(\frac{3}{2}\pi+2k\pi , \frac{3}{2}\pi+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{3}{2}\pi+2k\pi , -\frac{3}{2}\pi+2k\pi)
$$
Dove per semplicità di notazione abbiamo chiamato $k$ anche quello che doveva essere un $K$ , questo perché d'ora in poi non sarà più necessario distinguerli.
Abbiamo ottenuto quindi un totale di $8$ famiglie di punti stazionari! (In effetti mi ero perso in giro un bel po' di casi)!
Adesso dovremmo studiare anche il caso $-$ tuttavia se provi a studiarlo noterai subito che ottieni di nuovo le ultime 4 famiglie, quindi questa volta possiamo ritenerci fortunati con solo 8 famiglie di punti.
Tutto chiaro fin qui?
Adesso dobbiamo valutare la matrice Hessiana per questi valori.
Quindi prima di tutto calcoliamo le derivate seconde che sono :
\begin{matrix}f_{xx}=-cos(x+y)-sin(x) \\ f_{yy}=-cos(x+y)-sin(y) \\f_{xy}=f_{yx}=-cos(x+y)\end{matrix}
Cerchiamo di fare qualche breve osservazione per velocizzare un po' i conti.
Prima di tutto è evidente che per le quattro famiglie di punti a sinistra si ha che $sin(y)=sin(x)$ ; mentre per le famiglie a destra si ha che si ha che $sin(y)=-sin(x)$.
Inoltre si nota immediatamente che per tutte le famiglie di punti stazionari $cos(x+y)=cos(x\pm x + 2\bar{k}\pi)=cos(x\pm x) $ ; quindi per le famiglie a sinistra si ha che $cos(x+y)=cos(2x)$ mentre per le famiglie a destra si ha che $cos(x+y)=cos(0)=1$
Quindi le infinite matrici Hessiane che dovremmo calcolare (una per punto) in realtà sono solo 8; e le indicheremo con $H_j$ con $j=1,\cdots , 8$
Ora ricordando velocemente che la matrice Hessiana è definita come
$$
H(x,y)=\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}
$$
Avremo le seguenti $8$ famiglie:
$$
H_1=\begin{bmatrix} -1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_2=\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & -1\\ -1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}
$$
$$
H_3=\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_4=\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & -1\\ -1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}
$$
$$
H_5=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_6=\begin{bmatrix} -2 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}
$$
$$
H_7=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1& 2\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_8=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -1 & -2\end{bmatrix}
$$
Adesso dobbiamo studiare gli autovalori di tutte e $8$ le matrici.
Per $H_1$ dobbiamo calcolare il seguente determinante e porlo uguale a zero
$$
det(H_1)=\begin{vmatrix} -1-\lambda& -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1-\lambda\end{vmatrix}=(1+\lambda)^2-\frac{1}{4}=0
$$
Adesso non ci resta che risolvere l'equazione di secondo grado in lambda, per la quale otteniamo le due soluzioni $\lambda_1=-\frac{1}{2}$ e $\lambda_2=-\frac{3}{2}$ Ora poiché gli autovalori sono entrambi di segno negativo la matrice si dice definita negativa e pertanto tutti i punti stazionari della prima famiglia sono punti di Massimo.
Allo stesso modo non ci resta che calcolare gli autovalori delle restanti 7 matrici.
Dovresti ottenere che tutte le altre matrici sono matrici indefinite (cioè con autovalori di segno non concorde) e pertanto i punti stazionari che esse caratterizzano sono punti di sella; ad eccezione di $H_7$ che è definita positiva e pertanto la famiglia di punti che essa caratterizza sono punti di minimo della funzione.
Spero di esserti stato d'aiuto e di non aver commesso altri errori di calcolo/sviste.
Trovare i punti a gradiente nullo significa risolvere il sistema
$$
\begin{cases}f_x(x,y)=0 \\f_y(x,y)=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-sin(x+y)+cos(x)=0 \\-sin(x+y)+cos(y)=0\end{cases}
$$
dal quale otteniamo
$$
\begin{cases}sin(x+y)=cos(x)\\sin(x+y)=cos(y)\end{cases}
$$
sostituendo la prima equazione nella seconda otteniamo
$$
\begin{cases}sin(x+y)=cos(x)\\cos(x)=cos(y)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}sin(x+y)=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
e qui è dove ti sei fermato tu (più o meno diciamo, nel senso che avevi avuto la mia stessa svista) , adesso devi sostituire il risultato della seconda nella prima, ottenendo così
$$
\begin{cases}sin(x\pm x +2\bar{k}\pi)=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
Ora per le formule di addizione del seno abbiamo che $sin(x\pm x +2\bar{k}\pi)=sin(x\pm x)cos(2\bar{k}\pi)+sin(2\bar{k}\pi)cos(x\pm x)=sin(x\pm x)$
per cui otteniamo il sistema
$$
\begin{cases}sin(x\pm x )=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
A questo punto studiamo la prima equazione per il caso $+$ e per il caso $-$.
Nel caso $+$ otteniamo $sin(2x)=cos(x)$ e per le formule di duplicazione del seno si ha che $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$ per cui il sistema diventa nel caso $+$
$$
\begin{cases}2sin(x)cos(x)=cos(x)\\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}sin(x)=\frac{1}{2} \vee cos(x)=0 \\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
risolvendo le prime equazioni trigonometriche arriviamo al sistema
$$
\begin{cases}x=\frac{\pi}{6}+2K\pi\vee x=\frac{5}{6}\pi+2K\pi \vee x=\frac{\pi}{2}+2K\pi \vee x=\frac{3}{2}\pi+2K\pi \\y=\pm x +2\bar{k}\pi\end{cases}
$$
Ora definendo $k=\bar{k}\pm K$ (notiamo che $k$ così definito è ancora un numero intero) otteniamo le seguenti famiglie di punti stazionari:
$$
(x,y)=(\frac{\pi}{6}+2k\pi , \frac{\pi}{6}+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{\pi}{6}+2k\pi ,- \frac{\pi}{6}+2k\pi)
$$
$$
(x,y)=(\frac{5}{6}\pi+2k\pi , \frac{5}{6}\pi+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{5}{6}\pi+2k\pi , -\frac{5}{6}\pi+2k\pi)
$$
$$
(x,y)=(\frac{\pi}{2}+2k\pi , \frac{\pi}{2}+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{\pi}{2}+2k\pi , -\frac{\pi}{2}+2k\pi)
$$
$$
(x,y)=(\frac{3}{2}\pi+2k\pi , \frac{3}{2}\pi+2k\pi) \hspace{50pt} (x,y)=(\frac{3}{2}\pi+2k\pi , -\frac{3}{2}\pi+2k\pi)
$$
Dove per semplicità di notazione abbiamo chiamato $k$ anche quello che doveva essere un $K$ , questo perché d'ora in poi non sarà più necessario distinguerli.
Abbiamo ottenuto quindi un totale di $8$ famiglie di punti stazionari! (In effetti mi ero perso in giro un bel po' di casi)!
Adesso dovremmo studiare anche il caso $-$ tuttavia se provi a studiarlo noterai subito che ottieni di nuovo le ultime 4 famiglie, quindi questa volta possiamo ritenerci fortunati con solo 8 famiglie di punti.
Tutto chiaro fin qui?
Adesso dobbiamo valutare la matrice Hessiana per questi valori.
Quindi prima di tutto calcoliamo le derivate seconde che sono :
\begin{matrix}f_{xx}=-cos(x+y)-sin(x) \\ f_{yy}=-cos(x+y)-sin(y) \\f_{xy}=f_{yx}=-cos(x+y)\end{matrix}
Cerchiamo di fare qualche breve osservazione per velocizzare un po' i conti.
Prima di tutto è evidente che per le quattro famiglie di punti a sinistra si ha che $sin(y)=sin(x)$ ; mentre per le famiglie a destra si ha che si ha che $sin(y)=-sin(x)$.
Inoltre si nota immediatamente che per tutte le famiglie di punti stazionari $cos(x+y)=cos(x\pm x + 2\bar{k}\pi)=cos(x\pm x) $ ; quindi per le famiglie a sinistra si ha che $cos(x+y)=cos(2x)$ mentre per le famiglie a destra si ha che $cos(x+y)=cos(0)=1$
Quindi le infinite matrici Hessiane che dovremmo calcolare (una per punto) in realtà sono solo 8; e le indicheremo con $H_j$ con $j=1,\cdots , 8$
Ora ricordando velocemente che la matrice Hessiana è definita come
$$
H(x,y)=\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}
$$
Avremo le seguenti $8$ famiglie:
$$
H_1=\begin{bmatrix} -1 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_2=\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & -1\\ -1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}
$$
$$
H_3=\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_4=\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & -1\\ -1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}
$$
$$
H_5=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& 0\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_6=\begin{bmatrix} -2 & -1\\ -1 & 0\end{bmatrix}
$$
$$
H_7=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1& 2\end{bmatrix} \hspace{50pt} H_8=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -1 & -2\end{bmatrix}
$$
Adesso dobbiamo studiare gli autovalori di tutte e $8$ le matrici.
Per $H_1$ dobbiamo calcolare il seguente determinante e porlo uguale a zero
$$
det(H_1)=\begin{vmatrix} -1-\lambda& -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1-\lambda\end{vmatrix}=(1+\lambda)^2-\frac{1}{4}=0
$$
Adesso non ci resta che risolvere l'equazione di secondo grado in lambda, per la quale otteniamo le due soluzioni $\lambda_1=-\frac{1}{2}$ e $\lambda_2=-\frac{3}{2}$ Ora poiché gli autovalori sono entrambi di segno negativo la matrice si dice definita negativa e pertanto tutti i punti stazionari della prima famiglia sono punti di Massimo.
Allo stesso modo non ci resta che calcolare gli autovalori delle restanti 7 matrici.
Dovresti ottenere che tutte le altre matrici sono matrici indefinite (cioè con autovalori di segno non concorde) e pertanto i punti stazionari che esse caratterizzano sono punti di sella; ad eccezione di $H_7$ che è definita positiva e pertanto la famiglia di punti che essa caratterizza sono punti di minimo della funzione.
Spero di esserti stato d'aiuto e di non aver commesso altri errori di calcolo/sviste.
"Bossmer":
Per cui la funzione non possiede massimi e minimi sul suo dominio, ma solamente punti di sella.
Ti pare possibile che per una funzione 'buona' come quella proposta possa esser vero quel che affermi?
$ cos(x)=cos(y) $ non implica $ x=y $.
Ciao
B.
Che fesso hai ragione, mi sono perso in giro altre 5 famiglie di punti stazionari...
Li per li mi è sembrato strano, però visto che con le funzioni a due variabili non sai mai cosa ti salta fuori ho detto, ma può anche darsi.
Scusa simonesimo97 allora in effetti $cos(y)=cos(x)$ implica che (orsoulx correggimi se sbaglio) $y=\pm x + 2k\pi$ con $k\in Z$ .
Quindi semplicemente mancano un bel po' di punti stazionari che nel precedente post non ho considerato.
Adesso modifico il primo post in modo da scrivere in un unico post lo svolgimento corretto, scusa ancora per la svista!
Li per li mi è sembrato strano, però visto che con le funzioni a due variabili non sai mai cosa ti salta fuori ho detto, ma può anche darsi.
Scusa simonesimo97 allora in effetti $cos(y)=cos(x)$ implica che (orsoulx correggimi se sbaglio) $y=\pm x + 2k\pi$ con $k\in Z$ .
Quindi semplicemente mancano un bel po' di punti stazionari che nel precedente post non ho considerato.
Adesso modifico il primo post in modo da scrivere in un unico post lo svolgimento corretto, scusa ancora per la svista!
Guarda che succede a tutti di sbagliare, non per questo dobbiamo ritenerci fessi. L'importante è correggersi una volta individuati gli errori.
Ciao
B.
Ciao
B.
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