Limite del massimo modulo di una funzione olomorfa
Fissato un $alpha in C $ e $r in R$ con $r>0$, sia $ D={z in C : |z-alpha|<=r} $.
Sia, inoltre, $f : D->C$ una funzione olomorfa
Vorrei sapere se è vera questa affermazione $ lim_(r -> 0) max(|f(z)|)=|f(alpha)| $
Grazie.
Sia, inoltre, $f : D->C$ una funzione olomorfa
Vorrei sapere se è vera questa affermazione $ lim_(r -> 0) max(|f(z)|)=|f(alpha)| $
Grazie.
Risposte
Io ho provato a dimostrarlo in questo modo:
Essendo la $f$ olomorfa sappiamo che è dotata di massimo lungo il bordo del disco $D$ di raggio $r$, per cui esiste un $varphi_r$ tale che $max(|f(z)|) = |f(alpha+r*e^(i*varphi_r))|$ per cui si calcola
$ lim_(r -> 0^+) max(|f(z)|)=lim_(r -> 0^+) |f(alpha+r*e^(i*varphi_r))| = "per la continuità del modulo" = |lim_(r -> 0^+) f(alpha+r*e^(i*varphi_r))| = "per la continuità di una funzione olomorfa" = |f(lim_(r -> 0^+) alpha+r*e^(i*varphi_r))| = |f(alpha)| $
Qualsiasi parere, giudizio è benvenuto:-)
Essendo la $f$ olomorfa sappiamo che è dotata di massimo lungo il bordo del disco $D$ di raggio $r$, per cui esiste un $varphi_r$ tale che $max(|f(z)|) = |f(alpha+r*e^(i*varphi_r))|$ per cui si calcola
$ lim_(r -> 0^+) max(|f(z)|)=lim_(r -> 0^+) |f(alpha+r*e^(i*varphi_r))| = "per la continuità del modulo" = |lim_(r -> 0^+) f(alpha+r*e^(i*varphi_r))| = "per la continuità di una funzione olomorfa" = |f(lim_(r -> 0^+) alpha+r*e^(i*varphi_r))| = |f(alpha)| $
Qualsiasi parere, giudizio è benvenuto:-)
La domanda non ha senso. \(\max |f(z)|\) è una scrittura ambigua, ma io capisco che è \(\max \{|f(z)|\ :\ z\in D\}\). Perciò è un numero, che non dipende da nulla, in particolare non dipende da \(r\).
Scusami dissonance, effettivamente, mi sono reso conto di aver scritto il problema in modo "del tutto" incompleto, quindi scusami, anzi mi hai fatto rendere conto che a volte do per scontato delle cose che stanno solo nella mia mente.
Provo a porre di nuovo il mio problema:
Fissato un numero reale positivo $r>0$ e un numero complesso $alpha$.
Sia la successione numerica $r_n=r/n$ e sia definito $D_n$ il disco chiuso di centro $alpha$ e raggio $r_n$.
Sia $f_1:D_1rarrC$ una funzione olomorfa e si consideri la successione di funzioni olomorfe $f_n:D_nrarrC$ dove $f_(n+1)$ è la restrizione di $f_n$ al disco chiuso $D_(n+1)$.
E giusto affermare che $ lim_(n -> oo)max(|f_n|)=|f(alpha)| $ ?
con la scrittura $max(|f_n|)$ intendo il massimo modulo della funzione $f_n$ nel suo dominio.
Grazie per ogni commento e suggerimento
Provo a porre di nuovo il mio problema:
Fissato un numero reale positivo $r>0$ e un numero complesso $alpha$.
Sia la successione numerica $r_n=r/n$ e sia definito $D_n$ il disco chiuso di centro $alpha$ e raggio $r_n$.
Sia $f_1:D_1rarrC$ una funzione olomorfa e si consideri la successione di funzioni olomorfe $f_n:D_nrarrC$ dove $f_(n+1)$ è la restrizione di $f_n$ al disco chiuso $D_(n+1)$.
E giusto affermare che $ lim_(n -> oo)max(|f_n|)=|f(alpha)| $ ?
con la scrittura $max(|f_n|)$ intendo il massimo modulo della funzione $f_n$ nel suo dominio.
Grazie per ogni commento e suggerimento
Mi pare che la cosa sia vera per una qualsiasi funzione continua, non occorre che sia olomorfa. Infatti, \(\max |f_n|=|f(z_n)|\) per un \(z_n\in D_n\), e quando \(n\to \infty\) uno ha che \(z_n\to \alpha\), perciò, per continuità, \(|f(z_n)|\to |f(\alpha)|\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo