Limiti in due variabili

[KatieP]

Devo calcolare il limite per (x,y) tendente a (0,0) della funzione y^2/x . Sostituendo le coordinate polari trovo 0, ma lungo l'asse x= 0, il limite vale infinito . Ma l'uso delle coordinate polari non è una condizione sufficiente al calcolo del limite? Devo sempre andare a verificare cosa succede sugli assi o sulle rette passanti per l'origine?

[quantunquemente]

se usi le coordinate polari,il limite per $rho rarr 0$ deve esistere uniformemente rispetto a $theta$
nel tuo caso il limite non esiste : basta vedere cosa succede se ci si muove lungo l'asse $x$ e lungola curva $y=sqrtx$

[KatieP]

Cosa significa che il limite deve esistere uniformemente rispetto all'angolo?

[quantunquemente]

se esistesse il limite $l$ uniformemente rispetto a $theta$ vorrebbe dire :
$forallepsilon >0 exists delta >0 : |f(rho,theta)-l| cioè il $delta$ sarebbe indipendente da $theta$
evidentemente ciò non accade nel tuo esercizio

[KatieP]

Okay, grazie. Quello che intendevo dire però è: procedendo direttamente con le coordinate polari , non posso avere la certezza che il limite esista. Dovrò prima verificarlo sulle rette o sulle curve, come in questo caso. Se avessi usato direttamente le coordinate polari, avrei concluso che il limite è nullo, ma ciò è falso. È giusto ciò che dico?

[quantunquemente]

"nereide":Se avessi usato direttamente le coordinate polari, avrei concluso che il limite è nullo

no,perchè non essendoci l'uniformità ,che è condizione necessaria oltre che sufficiente,il limite non esiste

[bosmer-votailprof]

"nereide":Cosa significa che il limite deve esistere uniformemente rispetto all'angolo?

Se vuoi un altro modo per capire questo "uniformemente" è che se esiste il limite uniformemente rispetto all'angolo allora la tua funzione in coordinate polari (in valore assoluto) la puoi sempre maggiorare con una funzione di una variabile $g(\rho)$ che dipende sollo dalla distanza dall'origine e che tende a tale limite.
Mentre se il limite non esiste uniformemente rispetto all'angolo allora non esiste una tale funzione con le precedenti caratteristiche che maggiora il tuo limite.

Per esempio mettiamo di studiare il limite in $(0,0)$ della funzione $\frac{x^3}{x^2+y^2}$ che in coordinate polari diventa con le dovute semplificazioni $\rho \cos^3(\theta)$ , scriviamone il modulo e maggioriamola avremo che
$$
\rho |\cos^3(\theta)|\leq \rho
$$

Questo poiché il coseno è limitato ed in particolare è minore uguale di $1$ per ogni angolo, quindi la funzione $g(\rho)=\rho$ maggiora la mia funzione.

Nel tuo caso invece hai $|\frac{y^2}{x}|$ che in coordinate polari diventa
$$
\rho\left|\frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)}\right|=\rho\left|\sin(\theta)\tan(\theta)\right|\leq\rho\left|\tan(\theta)\right|
$$

e da qui in poi non puoi andare avanti perché la tangente non è limitata e non c'è modo di maggiorarla con una funzione che non dipenda da $\theta$ .

In ogni caso non abusare delle coordinate polari, perché il fatto di non riuscire a maggiorare non necessariamente implica che il limite non esiste, magari semplicemente non vedi la maggiorazione. Per dimostrare che il limite non esiste è sempre meglio svolgere il limite su diversi cammini.

[KatieP]

Grazie!

[michele.assirelli]

Mi inserisco anche io nella discussione per avere chiarimenti

Se dalla sostituzione ottengo una funzione che non dipende da $r$ ma solo da $θ$ allora possiamo dire che il limite non esiste?
Visto che assumerebbe valori diversi al variare di $θ$