Analisi matematica di base
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Esercizio. Sia \((X,\mathcal{M}, \mu)\) uno spazio con misura. Siano \(u_n, f_n, v_n, u,f,v\) funzioni reali misurabili su \(X\), con \(u_n \to u\), \(f_n \to f\) e \(v_n \to v \) quasi ovunque in \(X\). Supponiamo che per ogni \(n \in \mathbb{N} \) si abbia \(u_n \le f_n \le v_n\) quasi ovunque su \(X\), che \(u_n, u, v_n, v\) siano in \(L^1(\mu)\) e che inoltre \[\lim_{n \to \infty} \int_X u_n \, d \mu = \int_X u \, d \mu \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} \int_X v_n \, d \mu = \int_X v ...
Rieccomi, questa volta con un integrale da esame che mi ha decisamente spiazzato
Ecco il testo:
"Siano $ 0<h<H<R $ e sia E l'insieme definito da
$ E = {(x,y,z)inR^3:x^2+y^2+z^2<=R^2, h<z<H}. $
Calcolare $ int int int_(E)x/sqrt(x^2+y^2+z^2) dx dy dz $ "
Ho pensato di usare coordinate sferiche, ottenendo:
$ { ( 0<=r<=R ),( -pi/2<=varphi<=pi/2 ),( 0<=vartheta<=2pi ):} $
(...ma poi mi è venuto in mente: ed i termini $h$ e $H$ a che servono? )
Si ottiene quindi l'integrale: $ int_(0)^(R) r dr int_(0)^(2pi) cosvartheta int_(-pi/2)^(pi/2) dvarphi $
avendo ovviamente saltato i passaggi perchè piuttosto ...
Salve, sono uno studente di ingegneria informatica. Mi sono iscritto al vostro forum perché da un po' di giorni ho un problema che concerne una delle ipotesi del teorema del confronto e del confronto asintotico per gli integrali impropri e per le serie; in particolare si suppone che, considerata una certa funzione, questa sia definitivamente positiva in un certo intorno del punto considerato. Valutandone il significato, ho compreso bene che il concetto "definitivamente" indica che la funzione ...
Salve a tutti,
come posso calcolare la derivata di una funzione inversa per una funzione di due variabili? Naturalmente conosco la formula nel caso 1D ma come si estende a questo caso?
Più precisamente mi è assegnata una funzione $$F(x,y)=(f(x),f(y))$$ e mi vengono dati due valori per f(x) e f(y) e le relative derivate. Devo calcolare il determinante della derivata di $$F^(-1)(x,y)$$ in (x,y)=(4,2). C'entra forse il teorema del ...
Dimostrazione Teorema Spettrale (Algebra lineare)
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Come da titolo vi chiedo la dimostrazione del teorema spettrale, ma leggendo sul web ho capito che ogni professore enuncia un teorema diverso a seconda della profondità con cui lo analizza. Detto questo, vi dico il mio enunciato e il lemma con cui dovrei dimostrare il teorema:
Teorema Spettrale
Sia [math]T: R^{n} \Rightarrow R^{n}[/math] un endomorfismo. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. Esiste una base ortonormale di [math]R^{n}[/math] formata da autovettori.
2. [math]T[/math] è un operatore ...
Salve, spero di essere nella giusta sezione. Io l'ho incontrata nei corsi di Analisi quindi ho pensato di postarle la mia richiesta qui.
Ho trovato delle difficoltà nel dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz $|<x,y>| <= |x||y|$. Seguendo alcuni consigli sono partito considerando $<x+\lambda y,x+\lambda y> >= 0$ ed ho svolto arrivando a $|x|^2 + \lambda^2|y|^2 + 2\lambda<x,y> >= 0$. Ho notato che $<x,y> >= -(|x|^2 + \lambda^2|y|^2)/(2\lambda)$ se suppongo $\lambda != 0$ (non è limitativo supporlo in quanto la disuguaglianza con $\lambda=0$ risulta ...
Sia $\mu$ una misura $\sigma$-additiva completa (perché tali sono le condizioni per cui conosco la definizione dell'integrale di Lebesgue secondo il Kolmogorov-Fomin) definita sulla $\sigma$-algebra degli insiemi di unità $X$.
Se $g\in L^1(X,\mu)$ è una funzione non negativa, allora direi che anche la misura $\nu$ definita, per ogni insieme $\mu$-misurabile $A\subset X$, da $$\nu (A):=\int_A ...
Esercizio di statistica su probabilità
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Ciao a tutti. Sto cercando di svoglere un esercizio ma non riesco a venirne a capo. Mi potreste aiutare? L'esercizio è il seguente:
In una fabbrica, tre linee di produzione (A, B, C) producono bottiglie di cognac da 0.75 l. La linea A garantisce il 40% di tutta la produzione, quella B il 20% e quella C il 40%. Il contenuto delle bottiglie che escono dalle tre linee ha una distribuzione assimilabile a tre differenti v.c.: (A)N(0.78, 0.01^2), (B)N(0.79, 0.02^2), (C)N(0.8, 0.02^2). Una ...
[Avvertitemi subito se non è corretto fare due post così rapidamente]
Ecco il secondo integrale di cui non riesco a venire a capo!
Dato l'insieme: $ E = {(x,y,z)inR^3 : x^2+y^2+z^2<=9; z>=sqrt(3)sqrt(x^2+y^2)} $
calcolare: $ int int int_(E) z *dx dy dz $
Vengono usate questa volta le coordinate sferiche: $ { ( x=rsen(varphi)cos(vartheta) ),( y=rsen(varphi)sen(vartheta) ),( z=rcos(varphi) ):} $
di conseguenza: $ { ( 0<=r<=3 ),( 0<=varphi<=pi/6 ),( 0<=vartheta<=2pi ):} $
essendo il differenziale $ r^2sen(varphi)*dvarphidvarthetadr $
mi trovo con $ int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(pi/6) (sen^2(varphi))/2 dvarphi int_(0)^(3) r^3 dr $
Ora, l'integrale in $r$ mi dà $(3^4)/4$
quello in $varphi$ invece: ...
Ciao a tutti! Ultimamente mi sto cimentando con gli integrali tripli e con alcuni sto avendo dei problemi purtroppo... Ma veniamo all'esercizio!
Dato l'insieme $ E = {(x,y,z)in R^3: 1<=x^2+y^2<=4; 0<=z<=3-sqrt(9-x^2-y^2)} $
Calcolare : $ int int int_(E) (z-3)/sqrt(x^2+y^2) dx dy dz $
Allora, il mio professore applica le coordinate cilindriche: $ { ( x=rcos(theta) ),( y=rsin(theta) ),( z=z ):} $
di conseguenza: $ { ( 1<=r<=2 ),( 0<=theta<=2pi ),( 0<=z<=3-sqrt(9-r^2)):} $
ottenendo: $ int_(1)^(2) dr int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(3-sqrt(9-r^2)) (z-3)/r rdz $
e qui viene subito messo il risultato, che è $ -7/3pi $
Ora, cercando di capire come l'integrale è stato risolto, ho ...
Non capisco il passaggio 3 di questa dimostrazione:
il testo dice se vale la proposizione:
1) $A$ limitato $iff EE l,L in RR: l<=a<=L, AA a in A$
2) allora vale anche $|a|<M, AA a in A$ (o equivalentemente $-M <= a <= M, AA a in A$) con $M=max{|l|,|L|}$ perché:
3) $-M<=-|l|<=l<=a<=L<=|L|<=M, AA a in A$
Non capisco bene queste due relazioni da dove si deducono, in particolare da dove nasce la disuguaglianza contenente il valore assoluto ($|l|,|L|$):
$L<=|L|<=M$
$-M<=-|l|<=l$
Sto leggendo su F.J. Jones, Lebesgue integration on Euclidean space, la dimostrazione del fatto che, se $u:[a,b]\to\mathbb{R}$ è una funzione assolutamente continua non decrescente e \(f\in L^1(u(a),u(b))\), allora \((f\circ u)\cdot u'\in L^1[a,b]\) e $$\int_{[u(a),u(b)]}f(x) d\mu_x=\int_{[a,b]}f(u(x))u'(x)d\mu_x.$$
Il testo dimostra l'asserto per \(f=\chi_E\) dove \(\chi_E\) è la funzione caratteristica dell'insieme $E\subset[a,b]$ misurabile.
Quindi il testo segue: ...
Ciao a tutti,
il mio testo definisce una serie come la successione delle somme parziali di una successione, ergo una successione.. in particolare, data una successione \((a_n)\) e definita la somma parziale come \(\displaystyle\sum_n a_n:=\begin{cases}
a_1 & \text{ if } n=1 \\
a_n + \displaystyle\sum_{n-1}a_n& \text{ if } n>1
\end{cases}\), al variare di \(n\) si ottiene un´altra successione, \(S: \Bbb N \to \Bbb R \, , \, n \to \displaystyle\sum_n a_n\) che chiama successione delle somme ...
Salve ragazzi, essendo un appassionato come voi di matematica (e presumo anche di fisica) avevo avuto l'idea, avendo finito il liceo, di dedicarmi a queste due materie per arrivare il più preparato possibile all'università. Che tipo di metodo di studio avete utilizzato all'università per apprendere queste materie? In pratica, io volevo studiare, dato che penso sia un piacere, già queste due grandi materie che a quanto pare sembrano essere un "problema" per le matricole.
Sto iniziando dal ...
Studiare la convergenza puntuale e uniforme di
$f_n(x)= int_1^n e^{-tx}/t^n \text{d} t$ con $x>0$.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Salve a tutti,
circa questo esercizio:
$ lim_(x -> sqrt2) (e^(x^2)+e^2(1-x^2))/[log(x^2-3sqrt2x+5)]^2 $
il dubbio è nel denominatore ed io ho svolto così:
$ [log(x^2-3sqrt2x+5)]^2 rarr [(x-sqrt2)(x-2sqrt2)]^2 $
Poi il libro continua e diventa:
$ [(x-sqrt2)(x-2sqrt2)]^2 rarr [(x-sqrt2)(-sqrt2)]^2 $
E non capisco come ha fatto a fare ciò. Nel senso, penso che abbia sostituito la x però si può effettuare la sostituzione solo da una parte?? Quando scelgo di sostituire non dovrei sostituire a tutto??
Grazie!
Salve! Chiedo ancora il vostro aiuto per la risoluzione di questo esercizio, per cui non so proprio da dove cominciare. Mi bastano anche solo delle linee guida o dei suggerimenti affinché io possa riuscire a risolverlo.
Il testo è il seguente:
Si stabilisca se la funzione:
$ f(x,y) = 1/(sqrt(x^2+y^2))int_(0)^(sqrt(x^2+y^2)) |1-lnt|/(lnt)^2*t^(-1/2) dx $
sia limitata nel suo insieme di definizione.
Vi ringrazio sempre per il vostro aiuto.
Calcolare integrale con seno
Miglior risposta
salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.
Stabilire se il seguente integrale sia convergente o meno:
[math]\int_{0}^{2}\frac{dx}{x^{3}sin\, x}[/math]
se mi potete spiegare come svolgerlo e come capire se converge o no.
grazie
Esiste un programma che mi permette di risolvere questo sistema di equazioni differenziali?
Dato il campo vettoriale su $RR^3$
$F(x,y,z)=(3y^2,3x^2,-z)$
e il dominio di $RR^3$
$ D ={(x,y,z) in RR^3 : sqrt(4x^2+9y^2)<=(z+1) , 1<=z<=2}$
verificare la validità del Teorema di Gauss in $RR^3$ per il campo F e il dominio D.
Questo, a meno di errori di scrittura miei, è il teorema.
\[
\int\!\!\!\! \int\!\!\!\! \int_{\Omega} \operatorname{div} F\ \text{d} x \text{d}y \text{d}z = \iint_{+\partial \Omega} F\cdot \nu\ \text{d}S
\]
La prima parte del dominio si può scrivere come $4x^2 +9y^2<= (z+1)^2 $ che ...
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