Dubbio su integrali impropri e serie numeriche.

[ll_ubermensch_ll]

Salve, sono uno studente di ingegneria informatica. Mi sono iscritto al vostro forum perché da un po' di giorni ho un problema che concerne una delle ipotesi del teorema del confronto e del confronto asintotico per gli integrali impropri e per le serie; in particolare si suppone che, considerata una certa funzione, questa sia definitivamente positiva in un certo intorno del punto considerato. Valutandone il significato, ho compreso bene che il concetto "definitivamente" indica che la funzione "da un certo punto in poi" è strettamente positiva. Fin qui tutto bene se non fosse che in alcuni esercizi mi è capitato di studiare il limite della funzione per comprendere se fosse definitivamente positiva, ma il limite in alcuni casi è risultato essere infinitesimo. Non sapendo come comportarmi in questo caso, dato che lo 0 è neutro, ho cercato in rete e ho trovato una leggera variante ai teoremi e, in particolare, si dice che la funzione dev'essere non negativa ( non si esclude che sia anche uguale a 0 ) quando si va a studiare il limite nell'intorno del punto che ci interessa. Arrivati a questo punto, mi chiedo quali delle due "varianti" corrisponda a verità. Mi sono dimenticato comunque di specificare che le funzioni studiate, pur essendo infinitesime in un certo intorno del punto considerato, risultavano essere strettamente positive nel loro dominio. Spero che sia fatta chiarezza da qualcuno su questo concetto sul quale, per il momento, mi sento insicuro.

Cordiali saluti,
Limitless_Yaoming.

[Studente Anonimo]

"Limitless_Yaoming":
...ma il limite in alcuni casi è risultato essere infinitesimo...

La funzione è risultata infinitesima, non il limite. Oppure, il limite è risultato zero.

"Limitless_Yaoming":
...che la funzione dev'essere non negativa (non si esclude che sia anche uguale a 0) quando...

Che c'entra, una funzione può tendere a zero e assumere indefinitamente sia valori positivi che negativi.

[ll_ubermensch_ll]

Prima di tutto, grazie per avermi risposto. Mi scuso anticipatamente per aver commesso degli errori, ma ero preso dalla questione e non mi sono preoccupato di rileggere il messaggio. In conclusione, come devo comportarmi rispetto a quanto esposto?

[Studente Anonimo]

Se il problema è avere una funzione non negativa, puoi studiare la convergenza assoluta. Del resto, se l'integrale o la serie convergono assolutamente, convergono anche semplicemente. Il problema sorge quando l'integrale o la serie non convergono assolutamente ma convergono solo semplicemente.

[ll_ubermensch_ll]

Avevo pensato anch'io ad una soluzione del genere sulla base dei teoremi già studiati in precedenza. Grazie del tempo dedicatomi. A presto!