Esame Ammissione Ph.D SISSA 2013 - Ex. 4

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Sia \((X,\mathcal{M}, \mu)\) uno spazio con misura. Siano \(u_n, f_n, v_n, u,f,v\) funzioni reali misurabili su \(X\), con \(u_n \to u\), \(f_n \to f\) e \(v_n \to v \) quasi ovunque in \(X\). Supponiamo che per ogni \(n \in \mathbb{N} \) si abbia \(u_n \le f_n \le v_n\) quasi ovunque su \(X\), che \(u_n, u, v_n, v\) siano in \(L^1(\mu)\) e che inoltre \[\lim_{n \to \infty} \int_X u_n \, d \mu = \int_X u \, d \mu \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} \int_X v_n \, d \mu = \int_X v \, d \mu.\]

1. Dimostrare che allora anche \(f_n, f \) sono in \(L^1(\mu)\), e che si ha \[\lim_{n \to \infty} \int_X f_n = \int_X f \, d \mu. \]
2. Dedurre da 1 che se si ha \(f_n, f \in L^1(\mu)\), \(f_n \to f\) quasi ovunque in \(X\) e \( \|f_n\|_{L^1} \to \|f\|_{L^1}\), allora si ha anche \[\lim_{n \to \infty} \int_X f_n = \int_X f \, d \mu. \][/list:u:2ql9j4dm]


Mi concentro su 1, visto che 2 si deduce da 1 considerando (suppongo) \(v_n = |f_n|\) e \(u_n = -|f_n|\).

Dalla disuguaglianza tra le funzioni si ottiene che \(0\le|f_n - u_n| \le |v_n - u_n| \le |v_n| + |u_n|\); inoltre \(|f_n| \le |f_n - u_n| + |u_n|\), e quindi \( |f_n| \le 2 |u_n| + |v_n|\) q.o. Pertanto \(f_n \in L^1( \mu)\). Inoltre il passaggio al limite conserva le disuguaglianze (la convergenza dei valori assoluti è implicata dalla convergenza q.o. - disuguaglianza triangolare inversa), quindi \( \lim_{n \to \infty} |f_n | = |f| \le \lim_{n \to \infty} 2 |u_n| + |v_n| = 2 |u| + |v|\) q.o., e si conclude che \(f \in L^1(\mu)\) per la proprietà di isotonia (si chiama così?) dell'integrale di Lebesgue.
A questo punto mi servo del lemma di Fatou sulle successioni \(v_n - f_n\) e \(f_n - u_n\), entrambe positive per ipotesi. Si ha (il limite inferiore è superadditivo, ma se esiste il limite di uno dei due addendi allora vale l'uguaglianza) \[\begin{split} \int_X v - f \, d \mu \le \liminf_{n \to \infty} \left[\int_X v_n - f_n \, d \mu \right] & = \int_X v \, d \mu + \liminf_{n \to \infty} \left[ - \int_X f_n \, d \mu \right] \\ & = \int_X v \, d \mu - \limsup_{n \to \infty} \int_X f_n \, d \mu \end{split} \]da cui si ricava \[\limsup_{n \to \infty} \int_X f_n \, d \mu \le \int_X f \, d \mu.\]Applicando il medesimo argomento alla successione \(f_n - u_n\) dovrebbesi ottenere \[\int_X f \, d \mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n \, d \mu\] da cui \[\lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d \mu = \int_X f \, d \mu.\]

Torna?

Ringrazio!

[DajeForte]

Mi sembra tutto in ordine.
Avevo ragionato come te, l'unica parte differente era l'inizio dove avevo usato passaggi differenti per dimostrare l'integrabilità.