Definizione di serie

[Noris1]

Ciao a tutti,
il mio testo definisce una serie come la successione delle somme parziali di una successione, ergo una successione.. in particolare, data una successione \((a_n)\) e definita la somma parziale come \(\displaystyle\sum_n a_n:=\begin{cases}
a_1 & \text{ if } n=1 \\
a_n + \displaystyle\sum_{n-1}a_n& \text{ if } n>1
\end{cases}\), al variare di \(n\) si ottiene un´altra successione, \(S: \Bbb N \to \Bbb R \, , \, n \to \displaystyle\sum_n a_n\) che chiama successione delle somme parziali (della successione \((a_n)\)) e dopo la chiama "serie numerica" (della successione \((a_n)\)) indicandola con il simbolo \( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\), quindi i due nomi sono la stessa cosa! Ma non capisco perché nella definizione di convergenza e divergenza di una serie (e per altro anche) usa la successione delle somme parziali (cioé la serie). Cioé, se ho capito bene e spero di no anche se suona strano dirlo, nel caso ad esempio della convergenza, "una serie é convergente se la successione delle sue somme parziali é convergente" ma essendo "successione delle somme parziali" sinonimo per "serie" é come dire "si dice serie convergente se la serie converge" e qui sembra ridicolo perché mi prende in giro visto che parliamo di successioni... trovo un po di difficoltá a capire bene il "facon de parler", trovo anche senza senso definire la convergenza e divergenza di una serie visto che giá l´abbiamo affrontata per le successioni e la serie é una successione... spero qualcuno possa aiutarmi a capire bene, e chiedo scusa se la questione é senza una domanda precisa!

[anto_zoolander]

Puoi vederla in questa maniera:

sia $a_n$ una successione, allora $S_k=sum_(n=0)^(k)a_n$ si chiama successione delle somme parziali. Beh fino a quì ci eri sicuramente arrivato, vediamo com'è definita questa successione:

$S_k:NN->RR,S_k:k|->sum_(n=0)^(k)a_n$

è una successione tale che infilato il numero $k$ ci torna la somma di tutti i termini della successione dallo $0-esimo$ al $k-esimo$ termine. Ad esempio,

$S_3=sum_(n=0)^(3)a_n=a_0+a_1+a_2+a_3$

il limite della successione delle somme parziali è la serie. Ovvero è così definita:

$lim_(k->+infty)S_k:=sum_(n=0)^(infty)a_n$

quindi dove sta' la differenza tra serie e successione delle somme parziali? Che la serie si ottiene come limite della successione delle somme parziali.

ti porto un esempio pratico con la successione $a_n=q^n$ che è una progressione geometrica.
Di fatti $(a_n)/(a_(n-1))=q^(n)/(q^(n-1))=q$ rappresenta una serie geometrica di ragione $q$

definiamo la successione delle somme parziali come

$S_k=sum_(n=0)^(k)q^n$

ora noi sappiamo che $S_k$ può anche essere rappresentata mediante una formula chiusa in questa maniera

$S_(k)=sum_(n=0)^(k)q^n=(1-q^(k+1))/(1-q)$

${(S_k=sum_(n=0)^(k)q^n),(S_k=(1-q^(k+1))/(1-q)):}$ \(\displaystyle \Longrightarrow \) ${(lim_(k->+infty)S_k=sum_(n=0)^(infty)q^n),(lim_(k->+infty)S_k=lim_(k->+infty)(1-q^(k+1))/(1-q)):}$

ovviamente se converge quella in basso, convergerà quella in alto visto che rappresentano la stessa cosa. Questo cosa ci dice? che calcolare il limite della successione delle somme parziali(che può essere espressa mediante una formula chiusa) o calcolare la serie equivale al calcolare la stessa cosa.

[gugo82]

Storia vecchia come il cucco...

Ne ho parlato anni fa (era il 2008, mio primo anno sul forum) con membri storici del forum (Gaal Dornik, Sergio, Chevtchenko/Sandokan, milady, G.D./WiZaRd, Camillo tra gli altri): tutti i dettagli qui.

[Noris1]

"gugo82":Storia vecchia come il cucco...

Ne ho parlato anni fa (era il 2008, mio primo anno sul forum) con membri storici del forum (Gaal Dornik, Sergio, Chevtchenko/Sandokan, milady, G.D./WiZaRd, Camillo tra gli altri): tutti i dettagli qui.

wow, non ero rotolato poi tanto lontano dall'albero... il concetto di coppia ordinata alle volte salva il concetto... e sinceramente, ora mi è chiaro ed ammetto che il mio docente confonde la successione delle somme parziali con serie e viceversa Grazie gugo

[gugo82]

Beh, è una confusione che spesso si fa, per evitare troppi formalismi.
La faccio anch'io a lezione (Analisi I ad Ingegneria).