Dimostrazione Teorema Spettrale (Algebra lineare)

[Lucasso]

Come da titolo vi chiedo la dimostrazione del teorema spettrale, ma leggendo sul web ho capito che ogni professore enuncia un teorema diverso a seconda della profondità con cui lo analizza. Detto questo, vi dico il mio enunciato e il lemma con cui dovrei dimostrare il teorema:

Teorema Spettrale

Sia

[math]T: R^{n} \Rightarrow R^{n}[/math]

un endomorfismo. Le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. Esiste una base ortonormale di

[math]R^{n}[/math]

formata da autovettori.

2.

[math]T[/math]

è un operatore simmetrico


Lemma

Siano

[math]T: R^{n} \Rightarrow R^{n}[/math]

un endomorfismo simmetrico e

[math]U[/math]

un sottospazio vettoriale di

[math]R^{n}[/math]

tale che

[math]T(U)⊆U[/math]

. Allora

[math]T(U^{⊥})⊆U^{⊥}[/math]

.


Dimostrazione (Lemma)

Sia

[math]w∈U^{⊥}[/math]

, si deve dimostrare che

[math]T(w)∈U^{⊥}[/math]

.
Per ogni

[math]u∈U[/math]

, si ha:

[math] = =0[/math]

, essendo

[math]T(u)∈U[/math]

Dimostrazione(Teorema Spettrale)

[math]1 \Rightarrow 2 [/math]

Per ipotesi B è una base ortonormale composta da autovettori, allora la matrice associata a T rispetto a tale base è diagonale, dunque simmetrica.

[math]1 \Leftarrow 2[/math]

Si proceda per induzione sulla dimensione dello spazio.

n=1) Ovvio. In dimensione 1 ogni operatore è simmetrico.

n>1) Si supponga che il teorema vale per n-1.
T è simmetrico --> T ha tutti autovalori reali.
Sia

[math]v_{1}[/math]

un autovettore di norma 1 e

[math]W=(Span{v_{1})^{⊥}[/math]

. Per il lemma precedente,

[math]T(W)⊆W[/math]

(perchè?).
Dunque la restrizione di

[math]T[/math]

a

[math]W[/math]

è un endomorfismo simmetrico di uno spazio di dimensione

[math]n-1[/math]

(cosa significa?).
Per ipotesi induttiva, esiste una base ortonormale

[math](v_{2},...,v_{n})[/math]

di

[math]W[/math]

composta da autobettori di

[math]T[/math]

. Aggiungiamo

[math]v_{1}[/math]

:

[math](v_{1},v_{2},...,v_{n})[/math]

è una base ortonormale di

[math]R^{n}[/math]

composta da autovettori di

[math]T[/math]

.


Vi prego aiutatemi e spiegatemi questa dimostrazione in modo chiaro!

[ciampax]

Nel tuo caso, stai enunciando il Teorema spettrale per operatori simmetrici in spazi con prodotto scalare (non è una questione di "profondità", è che ci sono almeno una decina di casi particolari di tale teorema e se, ovviamente, non stai facendo uno studio generale, risulta inutile andare a dimostrare il teorema nella sua forma più completa, per cui si cercano dimostrazioni più dirette).


Detto questo, il lemma mi sembra chiaro e non mi ci soffermo (in pratica applichi la definizione di operatore simmetrico in uno spazio a prodotto scalare).


Passiamo all'implicazione

[math]1)\Rightarrow 2)[/math]

. Anche qui c'è poco da dire: una base ortonormale di autovettori di

[math]T[/math]

rispetto al prodotto scalare fornisce (direi quasi per definizione) la diagonalizzabilità dell'operatore stesso che, quindi (almeno prendendo il suo rappresentante per coniugio) risulta simmetrico, e tanto basta.


Per l'altra implicazione, il caso

[math]n=1[/math]

è banale. Vediamo ora quello che ti manda in confusione. Sappiamo che

[math]v_1[/math]

è autovettore di norma 1: quindi, in formule

[math]T V_1=\lambda_1 v_1,\qquad < v_1, v_1 >=1[/math]

Considera lo spazio

[math]U=span(v_1)[/math]

: ovviamente

[math]U=\{av_1\ |\ a\in R\}[/math]

e quindi si ha per ogni

[math]v=av_1\in U[/math]

che

[math]Tv=T(av_1)=a(Tv_1)=a\lambda v_1=\lambda(av_1)=\lambda v\in U[/math]

per cui

[math]T(U)\subseteq U[/math]

e ne segue, dal lemma precedente che

[math]U^\bot=\{span(v_1)\}^\bot=span(v_1^\bot)=W[/math]

è tale che

[math]T(W)\subseteq W[/math]

Ora,

[math]U[/math]

è un sottospazio di dimensione 1, per cui il suo ortogonale

[math]W[/math]

ha dimensione

[math]n-1[/math]

: pertanto, se consideri l'operatore

[math]T[/math]

quando agisce solo sugli elementi di

[math]W[/math]

(la sua restrizione a

[math]W[/math]

) esso risulta un endomorfismo da

[math]W[/math]

in sé per quanto detto poco fa.


Per l'ipotesi induttiva, sappiamo che se il teorema vale per

[math]n-1[/math]

allora deve esistere una base ortonormale di

[math]W[/math]

composta da autovettori. Se adesso a questa base aggiungi il vettore

[math]v_1[/math]

, ottieni una base ortonormale di

[math]R^n[/math]

: infatti essendo

[math]v_1[/math]

ortogonale a

[math]W[/math]

qualsiasi prodotto scalare con i vettori della base di quest'ultimo risulta nullo. Pertanto hai trovato una base ortonormale e il teorema è dimostrato. Spero sia chiaro.



P.S.: ho come l'impressione che ti sfugga qualche definizione (non puoi non sapere cosa sia la restrizione di un endomorfismo ad un sottospazio) e anche un po' di malleabilità (il non riuscire a capire come vada usato il lemma). Ti consiglio di cercare di fare in modo di aver meglio chiari i concetti man mano che prosegui. Se hai bisogno di altro, chiedi pure.