Analisi matematica di base

Ho letto la definizione di differenziabilità, ma quando vado ad applicarla sorgono molti dubbi Per esempio, data $ f:R^2 ⟶ R $ con $ f(x,y) = (7x^3 y^7) / (x^2+y^2)^(1/7) $ per $ (x,y) ≠ (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $ , stabilire se f è differenziabile in (0,0) e scriverne il differenziale. Ho pensato di scrivere $ f(x,y) - f(0,0) = Df(0,0) + o(x,y) $ ma non saprei che conclusioni trarne. Oppure data $ f:R^2 ⟶ R $ con $ f(x,y) = (x^2 + y^2 + x) /(x^2 + y^2)^(1/2) $ per ogni $ (x,y) ≠ (0,0) $ e $ f(0,0) = 0 $ , stessa domanda di sopra. In questo caso però ...

salve, come da topic ho un esercizio che non riesco a concludere: dati due raggi A e B > 0 dominio: { $ A^2< x^2+4y^2<B^2 $ ,} calcolare l'integrale doppio del dominio dato $ intint(x^2+y^2+yx)dxdy $ . per simmetria escludo xy e sostituisco nel dominio e nell integrale doppio le coordinate ellittiche: il punto è che per far tornare le coordinate ellittiche per avere un intervallo di "ro" (non so come si scrive) semplice, poi non riesco a svolgere l'integrale perchè non mi si semplifica nulla. spero ...

Ho dei problemi con questo esercizio: Considerato l'insieme $ E = {(x,y,z) ∈ R^2 : x>0, y>0, 1<x+y<2} $ , devo calcolare l'integrale $ \int 1/(x+y) dxdy $ su $ E $. Ho disegnato l'intervallo E ma non capisco che strategia usare, se fare la differenza tra gli integrali calcolati sui due triangoli, usare Gauss-Green, o altro. Ho fatto questi tentativi ma o viene un risultato sbagliato o non riesco a concludere. Se qualcuno mi può aiutare, il risultato dell'integrale è 1

Buonasera, ho da risolvere questo problema ma non ho proprio idea da dove iniziare c'è qualcuno che mi può aiutare?? grazie Un serbatoio di 500 litri contiene inizialmente 100 litri di acqua pulita. Dell'acqua contenente 50% inquinante viene immessa nel serbatoio ad un tasso di 2 litri al minuto, mentre 1 litro di liquido miscelato esce, al minuto, dal serbatoio.Determinare la concentrazione di inquinante al raggiungimento del troppo pieno.

Salve a tutti ragazzi,mi servirebbe una mano con quest'espressione. Nell'ipotesi in cui x

Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo esercizio: data una scatola rettangolare con coperchio di volume $ 32 cm^3 $ , minimizzare la superficie laterale. Allora io ho provato a risolverlo così: il volume è $ V=xyz $ dunque mi ricavo $ z=V/(xy) $ , siccome la superficie laterale la posso calcolare come $ Al=2*z*(x+y) $ inserendo il valore di z trovato prima mi trovo che la funzione da minimizzare è $ Al=2V/y+2V/x $ . Il problema a questo punto è che non riesco a ...

Qualcuno sa dove posso trovare enunciato e dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica in forma ottimale? Perchè è nel programma di un esame ma non la trovo nè nel libro nè su internet, trovo solo la disuguaglianza isoperimetrica e la disuguaglianza isoperimetrica relativa che non sono ciò che mi serve.

Ciao a tutti ho dei dubbi quando, negli esercizi di analisi 2 (per es calcoli di flussi, Stokes ecc) leggo cose come normale rivolta verso l'alto. Capisco quando si parla di interno, esterno...ma verso l'alto cosa vuol dire? In quale piano? Poi un dubbio riguardo questo esercizio: $ Omega ={(x,y,z) € R^3 : x^2 + y^2 < z < 1} $ e il campo vettoriale $ F(x,y,z) = (xz,xy,1) $. Definendo $ Sigma ={(x,y,x^2 + y^2) € R^3 : x^2 + y^2 < 1} $ e la normale esterna n ad $ Omega $ , calcolare il flusso di F su $ Sigma $. Io ho svolto l'esercizio e mi ...

Consideriamo la curva \( \Gamma \) : [0 , \( \pi \) /4] \( \longrightarrow \) $ R^2 $ definita come $ \gamma \ (\theta) = ((cos \theta)^-1 , tan \theta) $. Calcolare \( \int_{\Gamma } \sqrt{1+(y^2 / x^2)} \, ds \) Ho provato a usare la formula \( \int_{0}^{\pi /4} F(\gamma (\vartheta )) * |\gamma '(\vartheta )|\, d\vartheta \) e trovo come risultato $ \pi/4 $. In realtà il risultato è $ 2- \pi/4 $ Cosa sbaglio?

Ciao ragazzi questo è il teorema a cui mi riferisco: Siano $f$ e $g$ due funzioni. Se si ha: $i) lim_(x -> alpha) f(x)=c$ $ii) lim_(t ->c) g(t)=l$ $iii) f(x) != c $ in un intorno di $alpha$ Allora: $lim_(x ->alpha) g(f(x))=lim_(t ->c) g(t)=l$ Bene, non riesco a capire il motivo della terza ipotesi: ho appuntato che "si può verificare che $f(x)$ associa ad $alpha$ proprio il valore $c$". Ora, io so tutto il procedimento che è stato fatto per arrivare a tale ...

Buona sera vorrei sapere cosa succede studiando la derivata seconda di una funzione quando essa non ammette soluzioni. Es. $ f(x)=ln(2x^2+3x+1) $ $ f''(x)=-(5+12 x+8 x^2)/(1+3 x+2 x^2)^2 $ ponendo $ -(5+12 x+8 x^2)/(1+3 x+2 x^2)^2>0 $ il denominatore non ammette soluzioni in R, dunque f''(x) non ammette soluzioni. In questo caso come si considera la convessità?

Salve, ho un problemino con questo integrale: \( \int_0^{oo} (e^{-ax} + sqrt(ax))/(x+x^a)\ \text{d} x\) ho risolto per x che tende a 0 ma all'infinito non riesco a capire. grazie in anticipo.

ciao a tutti, siano \((a_n)\) una successione ed \( \alpha, L\in \Bbb{R}\), nella dimostrazione \((a_n)\to L\Rightarrow (\alpha a_n) \to \alpha L\) distinguo i due casi per \(\alpha=0\) e per \(\alpha \neq 0\) e la proof fila logicamente, tuttavia mi domandavo se era possibile unificare i due casi magari, per ipotesi esiste un \(\epsilon >0\), considerando \(\max\{|\alpha|,\epsilon\}\) oppure \( |\alpha|+\epsilon\), visto che sono sempre positivi, (scusatemi per il tirare a sorte ) o altro ...

Ciao a tutti! Non riesco a trovare la soluzione particolare di questa equazione differenziale: $ y'' + (y')/x + y/(x^2) = logx/x $ Deve essere $x>0$ dunque poniamo $x=e^t$ cioè $t=logx$ $ y''(e^t) + (y'(e^t))/(e^t) + (y(e^t))/(e^(2t)) =t/(e^t) $ Adesso poniamo $z(t)=y(e^t)$ Svolgendo i vari calcoli trovo: $ (z''(t) - z'(t))/(e^(2t)) = -((z'(t))/(e^(2t))+ (z(t))/(e^(2t))) + t/(e^t) $ Quindi in definitiva: $ z''(t) + z(t)= t(e^t) $ Risolvo l'eq omogenea: $ z''(t) + z(t)= 0 => \lambda^2 + 1=0 => \lambda=+- i $ La soluzione dell'eq omogenea è : $ z(t) = c_1 cost +c_2 sent $ Arrivata a questo punto volevo trovare la sol particolare con ...

Ciao a tutti, il limite in questione è il seguente: \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{((tgx)^{arctgx}-1)+ln(1+senx)}{x^{\sqrt{x}}-cos(xlogx)}\] l'ho presto da un testo d'esame in cui si richiede che sia calcolando usando gli sviluppi di Taylor. Per prima cosa al numeratore cerco di eliminare arctgx come esponente di tgx ricorrendo a e^ln(x) a questo punto ho il prodotto arctgx(ln(tgx)). Analogamente faccio per il denominatore. Ma a questo punto mi blocco e non so proseguire. Mi affido al ...

Siano $a_{i},b_{i},c_{i}$ tre sequenze di n reali positivi Come posso dimostrare la seguente disuguaglianza? $(\sum_{i=1}^n a_{i}b_{i}c_{i} )^2 \leq (\sum_{i=1}^n a_{i}^2)(\sum_{i=1}^n b_{i}^2)(\sum_{i=1}^n c_{i}^2)$ Ho provato per induzione ma non riesco, ma ho notato che somiglia moltissimo alla disuguaglianza di Cauchy: forse è possibile dimostrarla usando i vettori e le operazioni tra essi?

Ciao ragazzi, mi date una mano a calcolare la derivata della funzione $x/sqrt(x-1)$? Io ho pensato di fare attraverso l'algebra delle derivate, calcolando la derivata del rapporto tra due funzioni con la "formula", ma il risultato dell'esercizio svolto non mi torna...

Ciao a tutti, sto leggendo la pg 167 del testo "Analisi Matematica 1" del Pagani Salsa, e mi ritrovo scritto la seguente nella dimostrazione, parte iii) (cioé che il prodotto di due funzioni convergenti (a due limiti finiti) tende al prodotto dei loro limiti \(f(x)g(x) \to l_1l_2\)), del Teorema 2.5: [...] e, per l´arbitrarietá di \(\epsilon\), segue la tesi [...]questo scritto dopo:\(|f(x)g(x) - l_1l_2|

Ciao a tutti! Ho un dubbio su questo esercizio: $ \omega = x(2log(xy)+1) dx +x^2/y dy $ calcolare $\int \omega $ dove $\gamma$ è la curva di parametrizzazione: $ (4+cost,3+2sint) , t in [0,\pi] $ Io prima ho verificato che la forma differenziale fosse chiusa così: $ del[x(2log(xy)+1)]/(dely) = del[x^2/y]/(delx) = 2x/y $ le derivare sono uguali e quindi $\omega$ è chiusa. Ora vediamo se è esatta Derivo la seconda componente: $\int x^2/y dy = x^2logy + c(x) $ Derivo questo risultato rispetto all'altra variabile e poniamo il risultato uguale all'altra ...

salve, ho difficoltà con due tipologie di esercizio. La 1) mi dice di determinare le limitazioni in coordinate cilindriche del seguente sottoinsieme di R^3 A={(x,z):x^2+(y-1)^2=y2, z compreso uguale tra 0 e y; La 2) Calcolare l'integrale doppio su insieme E di $ e^(x-y)dxdy $ , F è il dominio limitato delle rette x+y=4, 3x+y=4, x+3y=4 Non ho la più pallida idea di come approcciare . Sarei grato se qualcuno mi illustrasse i procedimenti magari con qualche esempio se non è troppo ...