Dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

[Injo]

Salve, spero di essere nella giusta sezione. Io l'ho incontrata nei corsi di Analisi quindi ho pensato di postarle la mia richiesta qui.

Ho trovato delle difficoltà nel dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz $|| <= |x||y|$. Seguendo alcuni consigli sono partito considerando $ >= 0$ ed ho svolto arrivando a $|x|^2 + \lambda^2|y|^2 + 2\lambda >= 0$. Ho notato che $ >= -(|x|^2 + \lambda^2|y|^2)/(2\lambda)$ se suppongo $\lambda != 0$ (non è limitativo supporlo in quanto la disuguaglianza con $\lambda=0$ risulta essere $|x|^2>=0$ che è sempre vero). Ma ora di qui non riesco a capire come arrivare alla formulazione finale.

Sapreste darmi una mano?

[ViciousGoblin]

"Injo":Salve, spero di essere nella giusta sezione. Io l'ho incontrata nei corsi di Analisi quindi ho pensato di postarle la mia richiesta qui.

Ho trovato delle difficoltà nel dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz $|| <= |x||y|$. Seguendo alcuni consigli sono partito considerando $ >= 0$ ed ho svolto arrivando a $|x|^2 + \lambda^2|y|^2 + 2\lambda >= 0$. Ho notato che $ >= -(|x|^2 + \lambda^2|y|^2)/(2\lambda)$ se suppongo $\lambda != 0$ (non è limitativo supporlo in quanto la disuguaglianza con $\lambda=0$ risulta essere $|x|^2>=0$ che è sempre vero). Ma ora di qui non riesco a capire come arrivare alla formulazione finale.

Sapreste darmi una mano?

Dato che il polinomio di secondo grado in $\lambda$ e' sempre positivo, allora il suo discriminante e' negativo. Dunque ...
Almeno nel caso reale

[Fox4]

Una volta notato che $\lambda$ può essere supposto diverso da 0 e arrivato a
$|x|^2+|\lambda|^2 * |y|^2+2\lambda* (x,y) >=0 \ \ \ \forall \lambda$ io avevo visto la dimostrazione che considera $\lambda=-[(y,x)]/[|y|^2]$ e quindi va bene anche nel caso complesso

EDIT (11:16 15/09): Scusa, ma ieri sera mi ero confuso; in realtà non è $\lambda=0$ che dà noia, noi infatti sappiamo che $(x+\lambda y,x+\lambda y)>=0 \ \ \ \forall \lambda\in\mathbb{C}$

Bisogna dire:
- se $y=0$ vale perchè ovvio
- se $y\ne0$ allora prendo $\lambda=-[(y,x)]/[|y|^2]$ e sono sicuro che $\lambda\in \mathbb{C}$ perchè per le proprietà della norma $|y|=0\ <=>\ y=0$ e non è questo il caso.


Ti torna?

FINE EDIT

[Injo]

Dovrei aver capito

Grazie ad entrambi.

[zerbo1000]

"ViciousGoblin":

Dato che il polinomio di secondo grado in $\lambda$ e' sempre positivo, allora il suo discriminante e' negativo.

anche io sto affrontando questo problema, non mi torna la frase che ho citato, se delta è minore di zero non usciamo dal campo reale?

grazie

[feddy]

Ciao,
io l'ho dimostrata così:
Sia V uno spazio metrico su $C$.

partiamo da:
$ 0<=<\alphav+\betaw,\alphav+\betaw> = <\alphav,\alphav>+<\alphav,\betaw>+<\betaw,\alphav>+<\betaw,\betaw> $

poiché si tratta di un prodotto interno:
$ = |\alpha|^2+ overline\alpha\beta+overline\beta\alpha+|beta|^2 = $

e, per simmetria:
$ = |\alpha|^2+ overline\alpha\beta+overline\beta\alpha+|beta|^2 = $ $square$

Poniamo ora:
$ \alpha = ||w||^2 $
$ beta = - $

In seguito alle sostituzioni fatte:
$ \alpha^2=||w||^4 $
$ |beta|^2 = betaoverlinebeta=- = ||^2 $


Torniamo ora a $square$ e concentriamoci sui termini "misti", ovvero quelli dove non c'è nè il quadrato di $\alpha$, nè il quadrato di $\beta$.
Abbiamo ricavato prima: $ overline\alpha\beta+overline\beta\alpha = -overlinealphabetaoverlinebeta - \alphaoverlinebetabeta = - 2||w||^2||^2 $.


Ricapitolando dall'inizio abbiamo:
$ 0<=|alpha|^2||v||^2 + |beta|^2||w||^2 - 2||w||^2||^2 $
$ =||w||^4||v||^2 +||w||^2||^2 - 2||w||^2||^2 = $ sottraggo gli ultimi due addenti che sono simili

$ =||w||^4||v||^2 - ||w||^2||^2 $ .

Abbiamo dimostrato che:
$ 0<=||w||^4||v||^2 - ||w||^2||^2 $
ossia: $ ||w||^2||^2 <= ||w||^4||v||^2 $
dividiamo per $||w||^2$:
$ ||^2 <= ||w||^2||v||^2 $
poiché tutti i termini sono positivi, togliendo i quadrati si ha :

$ || <= ||w||||v|| $ , che è la tesi.

q.e.d

[dissonance]

"zerbo1000":
anche io sto affrontando questo problema, non mi torna la frase che ho citato, se delta è minore di zero non usciamo dal campo reale?

grazie

Se il discriminante $\Delta$ del polinomio reale di secondo grado \(p(x)=ax^2+bx+c\) è negativo, allora *le radici* dell'equazione \(p(x)=0\) non sono reali. E quindi la disuguaglianza \(p(x)\ge 0\) è sempre vera o sempre falsa a seconda del segno di \(a\).