Analisi matematica di base
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ciao a tutti
ho dei dubbi su alcuni esercizi che mi chiedono di verificare se una funzione sia integrabile o meno secondo lebesgue su un dato intevallo. Riporto dapprima la traccia di un esercizio seguitoda un approccio generale su come affronterei problemi di questo tipo:
-Ese1:
per la risoluzione procederei nel seguente modo
1) verifico se l'intevallo su cui si voglia calcolare la funzione sia Lebesgue misurabile
2) verifico se la funzione è lebesgue misurabile su tale intevallo
3) ...
Buona domenica a tutti, ho svolto il seguente esercizio sulle serie di funzioni e vorrei sapere se è corretto.
$ sum_(n =1 \ldotsoo ) [(3n-2)*(x-3)^n)/[(n+1)^2*2^(n+1)] $
come prima cosa ho sostituito $ x-3=t $ ottenendo
$ sum_(n =1 \ldotsoo ) [(3n-2)*(t)^n)/[(n+1)^2*2^(n+1)] $
so che $ an= (3n-2)/[(n+1)^2*2^(n+1)] $
a questo punto utilizzo il criterio della radice e quindi:
$ lim_(n -> +oo ) root(n)|(3n-2)/[(n+1)^2*2^(n+1)]| = 1/2 $
da cui $ R=2 $ che è il raggio di convergenza, e dato che esso risulta essere $ R>0 $ allora la serie converge assolutamente
e l'intervallo di convergenza è ...
Buongiorno,
ho dubbi nel determinare il piano rettificante nel seguente esercizio.
Data la cubica gobba $alpha(t)=((t),(t^2),(2t^3))$, determinare il triedro di Frenet e le equazioni dei piani osculatore, normale, rettificante, per il valore $t=1$, ovvero nel punto $a(1)=((1),(1),(2))$.
$alpha'(t)=((1),(2t),(6t^2)) rarr alpha'(1)=((1),(2),(6)) rarr |alpha'(1)|=sqrt(41)$
$T(t):=(alpha'(t))/|alpha'(t)| rarr T(1)=1/sqrt(41)((1),(2),(6))$
$alpha''(t)=((0),(2),(12t)) rarr alpha''(1)=((0),(2),(12))$
$alpha'(1) ^^ alpha''(1)=((12),(-12),(2)) rarr |alpha'(1) ^^ alpha''(1)|=2sqrt(73)$
$B(t):=(alpha'(t) ^^ alpha''(t))/|alpha'(t) ^^ alpha''(t)| rarr B(1)=1/sqrt(73)((6),(-6),(1))$
$N(t):=B(t) ^^ T(t) rarr N(1)=1/sqrt(2993)((38),(35),(-18))$
Ora sfrutto le formule proposte nel libro di teoria di Capparelli e Del Fra (immagine in ...
ciao a tutti mi servirebbe sapere se il procedimento da me seguito in questo esercizio è corretto. il testo recita:
"Determinare la funzione $g in C^1(RR^2)$ che soddisfa $g(1, 1) = 2$ e che rende esatta la forma differenziale
$ omega=(2xz)dx+(yz+3y^2)dy+g(x,y)dz $. Per questa scelta di g determinare il potenziale F(x,y,z) di $omega$ che soddisfa F(1,1,4)=0"
Data la semplice connessione di $RR^2$ una forma è esatta se e solo se è chiusa, allora procedo a verificare la chiusura.
...
Come faccio a determinare la funzione inversa di $f(x)=logx - 1/logx$ ?
Ho provato a fare il denominatore comune ma non riesco ad isolare la variabile indipendente... Come posso procedere?
Ciao a tutti, studiando Analisi ho incontrato questo teorema che non riesco a comprendere a fondo.
Il teorema è il seguente:
"Se f : x -> Y ammette un inversa sinistra g1 ed un inversa destra g2, allora g1 = g2 e quindi f ammette inversa."
Dimostrazione: Assumere che g1 sia un inversa sinistra significa assumere che g1(f(x)) = x per ogni x ∈ X e assumere che g2 sia una inversa destra significa assumere che f(g2(y)) = y per ogni ∈ Y. Si ha allora: g1(y) = g1(f(g2(y))).
Se ora poniamo z = g2(y) ...
Volevo chiedere come dovrei fare per risolvere questa parte di esercizio.
f (x)=|sin(x)| devo trovare la funzione primitiva F(x) tale che F(0)=0. Determinare poi, per /pi
salve non riesco a capire come risolvere in generale un esercizio di questo tipo:
$ Omega ={(x,y)in R^2:x^2+y^2<1,y>1/4sqrt(4-x^2) } $
comincio con il fare il disegno molto semplice,Il dominio suggerisce di risolvere l’esercizio usando il cambiamento di variabili in coordinate polari.
riscrivo il nuovo insieme s: $ ={(rho ,Theta )in [0,+oo)*[0,2pi ]:rho ^2<1,rho sinTheta >1/4sqrt(4-rho ^2cos^2Theta ) } $
da qui non so più continuare in quanto il prof. dice sempre di dividere l'insieme in insiemi semplici trovando un certo $ Theta $ segnato, per poi andare a riscrivere il nuovo insieme come ...
Ciao, avrei bisogno di un aiuto nel seguente esercizio.
$ { ( y' = y^2 /(1+y^2) ),( y(0)=1 ):} $
Determinare la soluzione locale del seguente problema di Cauchy e stabilire l'insieme di definizione.
Essendo un equazione differenziale di primo grado a variabili separabile lo svolgo nel seguente modo:
$ int_()^() (1+y^2)/y^2 dy = int_()^() 1 dx $
L'integrale di destra è immediato ed è:
$ x + c $
Mentre l'integrale di sinistra lo spesso in due e ottengo:
$int_()^() 1/y^2 dy + int_()^()y^2/y^2 dy = -1/y + y + c $
Quindi il risultato finale che vado ad ottenere è: ...
Buongiorno,
per favore vorrei sapere che cosa significa che "esistono funzioni che non hanno primitive. Tale è ad esempio la funzione così definita
f(0)=0
f(x)=1 se x è diverso da 0."
Non capisco questo paragrafo perché f(x)=1 non ha primitive? Perché f(0)=0 non ha primitive?
Grazie mille
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla discontinuità di terza specie in un punto che sia estremo di un intervallo [a,b]. Affinché a ad esempio sia un punto di discontinuità eliminabile, basta che il limite destro della funzione f(x) per x che tende ad a sia diverso da f(a), perché il limite sinistro non esiste, giusto? Il dubbio mi è sorto perché in tutte le definizioni di punti di discontinuità eliminabili che ho trovato bisogna verificare che il valore di limite destro sia uguale a quello sinistro ...
Data una successione di successioni complesse $ {s_(n,m)}_(n,m in NN) $ tale che:
per ogni $ m in NN$ si ha $ lim_(n to oo)s_(n,m)=s_(0,m) $ e per ogni $ n in NN $ si ha $ sum_(m=1)^infty s_(n,m)<infty $
Sotto quali ipotesi è vera la seguente relazione: $ lim_(ntoinfty)sum_(m=1)^infty s_(n,m) = sum_(m=1)^infty lim_(ntoinfty) s_(n,m) $
Esiste un teorema che tratti questo argomento? io non sono riuscito a trovarlo .
Esistono teoremi riguardanti le serie di funzioni ma per serie di successioni come si potrebbero adattare?
Vi ringrazio per ogni suggerimento.
Salve a tutti, sto studiando il teorema secondo cui da ogni successione limitata è possibile estrarre una successione convergente. Il professore ha proposto, per il caso di una successione infinita, di osservare che il sostegno della successione presenta sicuramente un punto di accumulazione c e che è sicuramente possibile estrarre una successione a di punti del sostegno convergente a c. Resta da dimostrare che tale successione a sia una sottosuccessione di quella originaria. Per farlo ha ...
Salve a tutti,
E' corretto dire che funzioni del tipo $1/x$ sono continue?
Mi spiego: Una funzione del genere il mio professore dice che è continua, senza dire che è continua nel suo insieme di definizione in quanto lo da per scontato (trovare il dominio è un esercizio puramente accademico in quanto non ha senso calcolare il dominio perchè già assegnato, ma di questo ne riparleremo).
Su alcuni libri di testo in mio possesso funzioni del genere le vede come ...
Salve a tutti.
Questo è il mio primo post su questo forum quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori di vario genere.
Ho davanti a me questo esercizio a risposta multipla:
Data una funzione $ f(x)=sin(x^2+1)/x $ da (0,+oo)-->R
A- Ha minimo.
3 funzioni dagli appunti di analisi:
$f(x)=\{(1 -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
$f(x)=\{(x -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
$f(x)=\{(x^2 -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
La prima funzione è sempre discontinua per qualunque $x in RR$
La seconda funzione è continua solo per $x=0$ ma non derivabile
La terza funzione è continua e derivabile solo in $x=0$
A me sembra innanzitutto che la prima e la seconda abbiano un comportamento simile quindi mi aspettavo fossero entrambe discontinue per qualunque x.
Nella terza non capisco come ...
Salve, avrei un problema riguardo il seguente esercizio:
Trovare gli estremi liberi della funzione $ f(x,y)=2x^3y+3x^2y-y^2 $
Il mio ragionamento è il seguente:
$ grad f(x,y)=( ( 6x^2y+6xy ),( 2x^3+3x^2-2y ) ) =( ( 0 ),( 0 ) ) $
ed ottengo tre punti critici $ (0,0) ; (-3/2,0) ; (-1,1/2) $
A questo punto calcolo l'Hessiana della funzione
$ Hf(x,y)=( ( 12xy+6y , 6x^2+6x ),( 6x^2+6x , -2 ) ) $
Nei punti critici trovati:
$ Hf(-1,1/2)=( ( -3 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ ed essendo essa una matrice definita negativa ne deduco che il punto sia un punto di massimo relativo.
$ Hf(-3/2,0)=( ( 0 , 9/2 ),( 9/2 , -2 ) ) $ ed essendo una matrice con determinante ...
Sera, ho i seguenti integrali(d'esame) da svolgere:
a)$\int_D x^2y d(x,y) $ con $D={ (x,y) \in R^2| 1/x^2<=y<=x<=2}$
Ho impostato come estremi ${1<=x<=2, 1/x^2<=y<=x } $
b) $\int_D 1/ sqrt(x^2+y^2+z^2) d(x,y,z) $ con $D={ (x,y,z) \in R^3|x^2+y^2+z^2<=2, z>=1 }$
L'ho risolto riconducendomi alle coordinate sferiche e ottenendo come estremi di integrazione: ${1/cos(\phi)<=\rho<=sqrt(2), 0<=\theta<=2\pi, 0<=\phi<=\pi}$ e come funzione integranda : $\rho sin(\phi)$.
Sono corretti?
grazie mille a tutti e buona serata
Sia data una successione di numeri complessi $ {z_n}_(ninNN) in CC $
Mi necessita sapere se $ |sum_(n=1)^(oo)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(oo)|z_n|^2) $ è limitato oppure no.
Io ho provato a ragionare in questo modo:
$ |sum_(n=1)^(N)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(N)|z_n|^2) = (N*|(sum_(n=1)^(N)z_n)/N|)/(sqrt(N)*sqrt((sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)/N) ) = 1/sqrt(N)*|(sum_(n=1)^(N)z_n)/N|/sqrt((sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)/N) $
poiché $ MediaAritmetica = |(sum_(n=1)^(N)z_n)/N| $ e $ MediaQuadratica = sqrt((sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)/N) $
ed essendo $ MediaAritmetica <= MediaQuadratica $ si ha
$ |sum_(n=1)^(N)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(N)|z_n|^2) <= 1/sqrt(n) $ da cui $ lim_(N->oo)(|sum_(n=1)^(N)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)) <= lim_(N->oo)(1/sqrt(n)) = 0 $
Quindi, secondo questo mio ragionamento, il rapporto è limitato.
Ogni parere è benvenuto.
Ciao ragazzi mi dareste una mano con questo limite?
Traccia dell'esercizio:
Data la seguente serie
$sum_(n=1)^inftya_n = (n^n)/(4^n n!)$
Utilizzare il criterio della radice per determinare il comportamento della serie.
Risoluzione:
Bene, allora procedo in questo modo:
1)Calcolo la radice ennesima
$root(n)(a_n) = n/(4 n!^(1/n))$
2) Sapendo che per n che tende ad infinito ho :
$n! < n^n$
$n!^(1/n) < n $
Concludo che diverge.
In realtà converge e non capisco dove stia l'errore...
Grazie per l'eventuale aiuto
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