Rapporto tra somme e radice di somme di quadrati infinite

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Sia data una successione di numeri complessi $ {z_n}_(ninNN) in CC $

Mi necessita sapere se $ |sum_(n=1)^(oo)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(oo)|z_n|^2) $ è limitato oppure no.

Io ho provato a ragionare in questo modo:

$ |sum_(n=1)^(N)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(N)|z_n|^2) = (N*|(sum_(n=1)^(N)z_n)/N|)/(sqrt(N)*sqrt((sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)/N) ) = 1/sqrt(N)*|(sum_(n=1)^(N)z_n)/N|/sqrt((sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)/N) $

poiché $ MediaAritmetica = |(sum_(n=1)^(N)z_n)/N| $ e $ MediaQuadratica = sqrt((sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)/N) $

ed essendo $ MediaAritmetica <= MediaQuadratica $ si ha

$ |sum_(n=1)^(N)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(N)|z_n|^2) <= 1/sqrt(n) $ da cui $ lim_(N->oo)(|sum_(n=1)^(N)z_n|/sqrt(sum_(n=1)^(N)|z_n|^2)) <= lim_(N->oo)(1/sqrt(n)) = 0 $

Quindi, secondo questo mio ragionamento, il rapporto è limitato.

Ogni parere è benvenuto.

[dissonance]

Che significa "limitato"? Immagino tu voglia l'esistenza di una costante \(C\) tale che
\[
\frac{ |\sum z_n| }{\sqrt{\sum |z_n|^2} } \le C\quad \forall (z_n) .\]

Questa costante non esiste (il tuo ragionamento contiene un errore nella prima riga, dove scrivi \(\frac{N}{\sqrt{N}} = \frac{1}{\sqrt{N}}\), mentre dovrebbe essere \(\frac{N}{\sqrt{N}} = \sqrt{N}\)). Per rendertene conto, valuta il rapporto nella successione
\[
(z_n)=(\underbrace{1,1\ldots 1}_{N},0,0\ldots).\]
Se una costante \(C\) come sopra esistesse dovrebbe aversi
\[
\frac{N}{\sqrt N} =\sqrt{N}\le C, \]
il che è impossibile perché \(N\) può essere arbitrariamente grande.

Ad essere limitato è il rapporto inverso,
\[
\frac{\sqrt{\sum |z_n|^2} }{\sum |z_n|}\le 1.\]

[randomize]

grazie dissonance, avevo commesso quel grave errore