Studio parziale di funzione

[Enrico301]

Salve a tutti.
Questo è il mio primo post su questo forum quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori di vario genere.
Ho davanti a me questo esercizio a risposta multipla:
Data una funzione $ f(x)=sin(x^2+1)/x $ da (0,+oo)-->R
A- Ha minimo. <----Risposta esatta.
B- Ha massimo
C- E' superiormente limitata ma non ha massimo.
D- E' inferiormente limitata ma non ha minimo.

Per risolvere questo quesito mi sono messo a fare i limiti della funzione agli estremi del dominio.
$ lim_(x -> 0+) sin(x^2+1)/x $
sviluppato mi viene
$ lim_(x -> 0+) sin(0+1)/0=+oo $
-------
$ lim_(x -> +oo) sin(x^2+1)/x $
che sviluppato mi viene
$ lim_(x -> +oo) sin(+oo)/(+oo)=0 $
essendo una funzione finita divisa da un infinito.

Non essendo limitata superiormente e avendo come minorante lo zero ho dato come risposta la D.
potreste farmi luce sugli errori/orrori che ho commesso in questo svolgimento/ragionamento?
Vi ringrazio .

[spugna2]

Il fatto che $lim_{x->+oo}f(x)=0$ non ti garantisce che $0$ sia un minorante, perché nulla impedisce che $f$ possa assumere valori negativi, come effettivamente succede...

A questo punto, però, con le osservazioni fatte finora puoi dedurre che $\{ x \in RR^+ | f(x)<=-\epsilon \}$ (per un valore opportuno di $\epsilon$) è un insieme chiuso, limitato e non vuoto, e un punto di minimo in questo insieme è anche un punto di minimo per $f$.