Continuità e derivabilità
3 funzioni dagli appunti di analisi:
$f(x)=\{(1 -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
$f(x)=\{(x -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
$f(x)=\{(x^2 -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
La prima funzione è sempre discontinua per qualunque $x in RR$
La seconda funzione è continua solo per $x=0$ ma non derivabile
La terza funzione è continua e derivabile solo in $x=0$
A me sembra innanzitutto che la prima e la seconda abbiano un comportamento simile quindi mi aspettavo fossero entrambe discontinue per qualunque x.
Nella terza non capisco come verificare la continuità in $x=0$ poiché per il concetto di continuità deve valere questo limite se non ricordo male $\lim_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)$ e ma quali valori di $x$ della funzione devo considerare per il calcolo del limite?
Ce ne sono due: $RR$ o $RR-QQ$ ? Sinceramente mi trovo in difficoltà.
$f(x)=\{(1 -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
$f(x)=\{(x -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
$f(x)=\{(x^2 -> x in RR-QQ), (0 -> x in QQ):}$
La prima funzione è sempre discontinua per qualunque $x in RR$
La seconda funzione è continua solo per $x=0$ ma non derivabile
La terza funzione è continua e derivabile solo in $x=0$
A me sembra innanzitutto che la prima e la seconda abbiano un comportamento simile quindi mi aspettavo fossero entrambe discontinue per qualunque x.
Nella terza non capisco come verificare la continuità in $x=0$ poiché per il concetto di continuità deve valere questo limite se non ricordo male $\lim_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)$ e ma quali valori di $x$ della funzione devo considerare per il calcolo del limite?
Ce ne sono due: $RR$ o $RR-QQ$ ? Sinceramente mi trovo in difficoltà.
Risposte
Prova a vederla così ...
Nel primo caso, in ogni intorno di $x$ la funzione assumerà i valori zero e uno perciò non si avvicinerà mai ad unico valore e quindi non può essere continua; nel secondo caso, in ogni intorno di $x$ la funzione assumerà valori sempre più prossimi a $x$ ma anche zero, quindi sarà discontinua per ogni $x$ tranne che in zero dove le due cose tendono a coincidere, perciò in zero la funzione sarà continua; analogo ragionamento per il terzo caso.
Per la derivabilità, possiamo dire che nel primo caso non è continua quindi non è derivabile; nel secondo caso pensa al fatto che per ogni intorno di $x$ la derivata della nostra funzione assumerà valori pari a zero o a uno, quindi mai univoci, perciò non è derivabile; nel terzo caso è vero che la derivata assumerà valori pari a zero o diversi da zero ma in ogni intorno del punto $x=0$ la derivata assumerà valori che sono o zero o sempre più prossimi allo zero, quindi il limite del rapporto incrementale esiste finito (cioè zero) e quindi nel terzo caso la funzione è derivabile.
Ovviamente devi formalizzare il tutto ...
... ma basta usare le definizioni ... 
Cordialmente, Alex
Nel primo caso, in ogni intorno di $x$ la funzione assumerà i valori zero e uno perciò non si avvicinerà mai ad unico valore e quindi non può essere continua; nel secondo caso, in ogni intorno di $x$ la funzione assumerà valori sempre più prossimi a $x$ ma anche zero, quindi sarà discontinua per ogni $x$ tranne che in zero dove le due cose tendono a coincidere, perciò in zero la funzione sarà continua; analogo ragionamento per il terzo caso.
Per la derivabilità, possiamo dire che nel primo caso non è continua quindi non è derivabile; nel secondo caso pensa al fatto che per ogni intorno di $x$ la derivata della nostra funzione assumerà valori pari a zero o a uno, quindi mai univoci, perciò non è derivabile; nel terzo caso è vero che la derivata assumerà valori pari a zero o diversi da zero ma in ogni intorno del punto $x=0$ la derivata assumerà valori che sono o zero o sempre più prossimi allo zero, quindi il limite del rapporto incrementale esiste finito (cioè zero) e quindi nel terzo caso la funzione è derivabile.
Ovviamente devi formalizzare il tutto ...
... ma basta usare le definizioni ... Cordialmente, Alex
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