[EX] Insiemi limitati
Esercizio:
Sia $X\subseteq \RR$ non vuoto.
Provare che $X$ è limitato se e solo se, per ogni $\varepsilon >0$, si può ricoprire con un numero finito di intervalli aperti di semiampiezza $\varepsilon$, i.e. solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\text{ ed } \exists x_1,\ldots , x_N\in X:\quad X\subseteq \bigcup_{n=1}^N ]x_n-\varepsilon , x_n+\varepsilon[\; .
\]
Sia $X\subseteq \RR$ non vuoto.
Provare che $X$ è limitato se e solo se, per ogni $\varepsilon >0$, si può ricoprire con un numero finito di intervalli aperti di semiampiezza $\varepsilon$, i.e. solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\text{ ed } \exists x_1,\ldots , x_N\in X:\quad X\subseteq \bigcup_{n=1}^N ]x_n-\varepsilon , x_n+\varepsilon[\; .
\]
Risposte
Bhè, si potrebbe sfruttare la compattezza della chiusura di $X$ per la parte "solo se", mentre per l'implicazione "se" basta porre $x_m=\min\{x_1,\ldots,x_N\}$, $x_M=\max\{x_1,\ldots,x_N\}$ e osservare che $x_m-\varepsilon < x
Più precisamente, nell'implicazione "solo se" si considera la famiglia di aperti $\{B_{\varepsilon}(x)\}_{x\inX}$ (che è un ricoprimento aperto di $\overline{X}$), e per la compattezza di $\overline{X}$ esistono $x_1,\ldots,x_N\in X$ tale che $\overline{X}\subseteq \bigcup_{n=1}^NB_{\varepsilon}(x_n)$, ed essendo $X\subseteq \overline{X}$, si ha la tesi.
Più precisamente, nell'implicazione "solo se" si considera la famiglia di aperti $\{B_{\varepsilon}(x)\}_{x\inX}$ (che è un ricoprimento aperto di $\overline{X}$), e per la compattezza di $\overline{X}$ esistono $x_1,\ldots,x_N\in X$ tale che $\overline{X}\subseteq \bigcup_{n=1}^NB_{\varepsilon}(x_n)$, ed essendo $X\subseteq \overline{X}$, si ha la tesi.
Non mi sono mai cimentato in un esercizio di questo tipo ma voglio provare, ho provato con strumenti base base ma mi sa che è venuta fuori una cosa estremamente lunga e un po' contorta.