Soluzione eq. differenziale autonoma
Buongiorno,
affrontando lo studio dei sistemi dinamici mi sono imbattuto nelle equazioni autonome, cioè in quelle che non dipendono dal tempo del tipo $ dot(x)=X(x) $
Ora volevo disegnare il campo vettoriale $X(x_1,x_2)=(x_2,-x_1)$. Nelle dispense c'è scritto che si verifica subito che $ t \mapsto r_0((cos(-t+c)),(sin(-t+c))) $ , con $r_o \geq 0$ e $c in RR$ costanti arbitrarie sono linee integrali (ossia soluzioni massimali).
Il mio dubbio è come ottenere quelle due soluzioni in quella forma (con $-$ davanti a $t$ per intenderci).
Mostro ora il mio ragionamento:
$ { ( dot(x_1)=x_2 ),( dot(x_2)=-x_1 ):} $ da cui ottengo $ { ( dot(x_1)=x_2 ),( ddot(x_1)+x_1=0 ):} $ .
Risolvo la seconda:
$ \lambda^2+1=0 $ , da cui $\lambda=+- i$.
La soluzione è $x_1(t)=c_1cos(t)+c_2sen(t)$. Tale integrale generale si può riscrivere nella forma $r_o cos(t+c)$, con $r_0 \geq 0$ e $c \in RR$ costante arbitraria.
Sempre dal sistema ricavo che $x_2(t)=r_0sen(t+c)$
Pertanto avrei che $ t \mapsto ((r_0(cos(t+c))),(-r_0(sin(t+c)))) $ sono linee integrali. Non riesco a capire come ottenere la scrittura presente a inizio post. Non mi viene in mente nessuna particolare proprietà del seno e coseno che mi possa tornare utile.
Grazie per l'attenzione
affrontando lo studio dei sistemi dinamici mi sono imbattuto nelle equazioni autonome, cioè in quelle che non dipendono dal tempo del tipo $ dot(x)=X(x) $
Ora volevo disegnare il campo vettoriale $X(x_1,x_2)=(x_2,-x_1)$. Nelle dispense c'è scritto che si verifica subito che $ t \mapsto r_0((cos(-t+c)),(sin(-t+c))) $ , con $r_o \geq 0$ e $c in RR$ costanti arbitrarie sono linee integrali (ossia soluzioni massimali).
Il mio dubbio è come ottenere quelle due soluzioni in quella forma (con $-$ davanti a $t$ per intenderci).
Mostro ora il mio ragionamento:
$ { ( dot(x_1)=x_2 ),( dot(x_2)=-x_1 ):} $ da cui ottengo $ { ( dot(x_1)=x_2 ),( ddot(x_1)+x_1=0 ):} $ .
Risolvo la seconda:
$ \lambda^2+1=0 $ , da cui $\lambda=+- i$.
La soluzione è $x_1(t)=c_1cos(t)+c_2sen(t)$. Tale integrale generale si può riscrivere nella forma $r_o cos(t+c)$, con $r_0 \geq 0$ e $c \in RR$ costante arbitraria.
Sempre dal sistema ricavo che $x_2(t)=r_0sen(t+c)$
Pertanto avrei che $ t \mapsto ((r_0(cos(t+c))),(-r_0(sin(t+c)))) $ sono linee integrali. Non riesco a capire come ottenere la scrittura presente a inizio post. Non mi viene in mente nessuna particolare proprietà del seno e coseno che mi possa tornare utile.
Grazie per l'attenzione
Risposte
Si tratta di un moto circolare uniforme orario la cui velocità angolare è $[\omega=v/r=1]$:
$[dotx_1^2+dotx_2^2=x_1^2+x_2^2]$
$[(d[dotx_1^2+dotx_2^2])/(dt)=(d[x_1^2+x_2^2])/(dt)=2x_1dotx_1+2x_2dotx_2=2x_1x_2-2x_1x_2=0]$
$[dotx_1^2+dotx_2^2=x_1^2+x_2^2]$
$[(d[dotx_1^2+dotx_2^2])/(dt)=(d[x_1^2+x_2^2])/(dt)=2x_1dotx_1+2x_2dotx_2=2x_1x_2-2x_1x_2=0]$
Certo, questo mi è chiaro. Infatti si dice che $V(t) = x_1(t) ^2 + x_2(t)^2$ è la costante del moto. Quello che non mi è chiaro è come ottenere la scrittura che ho ad inizio post.
Intendo, io ottengo come soluzione la $\phi$ $RR\mapsto RR$, $t \mapsto ((r_0(cos(t+c))),(-r_0(sin(t+c))))$, mentre quella scritta nelle dispense è $t \mapsto r_0((cos(-t+c)),(sin(-t+c)))$.
Come si può vedere pure con le mie soluzioni si ottiene $x_1(t)^2+x_2(t)^2 =r_0(cos^2(t+c) + sen^2(t+c))=r_0^2$ costante del moto. Penso quindi che siano scritture equivalenti, ma non capisco come possa trovare quel particolare risultato.
Intendo, io ottengo come soluzione la $\phi$ $RR\mapsto RR$, $t \mapsto ((r_0(cos(t+c))),(-r_0(sin(t+c))))$, mentre quella scritta nelle dispense è $t \mapsto r_0((cos(-t+c)),(sin(-t+c)))$.
Come si può vedere pure con le mie soluzioni si ottiene $x_1(t)^2+x_2(t)^2 =r_0(cos^2(t+c) + sen^2(t+c))=r_0^2$ costante del moto. Penso quindi che siano scritture equivalenti, ma non capisco come possa trovare quel particolare risultato.
Le soluzioni del sistema, essendo un sottoinsieme delle soluzioni che hai determinato:
$\{(x_1=A_1cos(t+\phi_1)),(x_2=A_2cos(t+\phi_2)):}$
devono soddisfare:
$\{(dotx_1=x_2),(dotx_2=-x_1):} rarr \{(-A_1sin(t+\phi_1)=A_2cos(t+\phi_2)),(-A_2sin(t+\phi_2)=-A_1cos(t+\phi_1)):} rarr \{(A_2=-A_1),(\phi_2=\phi_1-\pi/2):}$
In definitiva:
$\{(x_1=A_1cos(t+\phi_1)),(x_2=-A_1cos(t+\phi_1-\pi/2)):} rarr \{(x_1=A_1cos(t+\phi_1)),(x_2=-A_1sin(t+\phi_1)):} rarr \{(x_1=A_1cos(-t-\phi_1)),(x_2=A_1sin(-t-\phi_1)):}$
Ad ogni modo, visto che il moto è orario, basta considerare il sistema iniziale e il segno relativo delle componenti della posizione e della velocità, non si comprende la necessità di questi calcoli.
$\{(x_1=A_1cos(t+\phi_1)),(x_2=A_2cos(t+\phi_2)):}$
devono soddisfare:
$\{(dotx_1=x_2),(dotx_2=-x_1):} rarr \{(-A_1sin(t+\phi_1)=A_2cos(t+\phi_2)),(-A_2sin(t+\phi_2)=-A_1cos(t+\phi_1)):} rarr \{(A_2=-A_1),(\phi_2=\phi_1-\pi/2):}$
In definitiva:
$\{(x_1=A_1cos(t+\phi_1)),(x_2=-A_1cos(t+\phi_1-\pi/2)):} rarr \{(x_1=A_1cos(t+\phi_1)),(x_2=-A_1sin(t+\phi_1)):} rarr \{(x_1=A_1cos(-t-\phi_1)),(x_2=A_1sin(-t-\phi_1)):}$
Ad ogni modo, visto che il moto è orario, basta considerare il sistema iniziale e il segno relativo delle componenti della posizione e della velocità, non si comprende la necessità di questi calcoli.
Ora mi è chiaro, avevo fatto un ragionamento simile. L'errore stava nel non sfruttare il fatto che $-sen(\theta)=sen(-\theta)$.
Grazie
Grazie
Ok. 
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