Determinare il carattere della serie, al variare del parametro negativo \(\displaystyle \alpha \)
Salve a tutti, devo determinare il carattere della serie, al variare del parametro negativo \(\displaystyle \alpha \).
Serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha) \)
Ho diviso la serie in due parti:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}+\sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) \)
Serie 1:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}} \)
Una serie armonica, conoscendo il carattere della serie armonica:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}}= \begin{cases} \text{converge => -2}\alpha>1,\alpha>-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}<\alpha<0 \\ \text{diverge=> -2}\alpha\leq1,\alpha\leq-\frac{1}{2} \end{cases} \)
Serie 2:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) = \sum_{n=1}^{+\infty }-(1-cos n^\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{-(1-cos n^\alpha)}{n^{2\alpha}}n^{2\alpha}\)
Qui mi viene qualche dubbio, è sbagliato rifare le stesse congetture che avevo fatto per la serie 1.
Da qui in poi, non so bene come continuare.
Serie:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha) \)
Ho diviso la serie in due parti:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}+\sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) \)
Serie 1:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}} \)
Una serie armonica, conoscendo il carattere della serie armonica:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}}= \begin{cases} \text{converge => -2}\alpha>1,\alpha>-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}<\alpha<0 \\ \text{diverge=> -2}\alpha\leq1,\alpha\leq-\frac{1}{2} \end{cases} \)
Serie 2:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }(cos n^\alpha-1) = \sum_{n=1}^{+\infty }-(1-cos n^\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{-(1-cos n^\alpha)}{n^{2\alpha}}n^{2\alpha}\)
Qui mi viene qualche dubbio, è sbagliato rifare le stesse congetture che avevo fatto per la serie 1.
Da qui in poi, non so bene come continuare.
Risposte
Secondo me ti conviene usare il confronto asintotico: il coseno lo sviluppi in serie (l'argomento tende a 0) ed è fatta.
Potresti farmi un esempio, se non ti dispiace di come l'avresti risolta tu?
$lim_{n->infty} n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha \approx lim_{n->infty} n^{2\alpha}-1+(1-1/2 n^{2alpha }+o(n^{2alpha })) $
L'o piccolo si semplifica perché si semplificano gli uni e da qui in poi è facile.
L'o piccolo si semplifica perché si semplificano gli uni e da qui in poi è facile.
$ lim_{n->infty} n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha \approx lim_{n->infty} n^{2\alpha}-1+(1-1/2 n^{2alpha }+o(n^{2alpha })) = $
Uguale o circa?
$ lim_{n->infty} 1/2 n^{2alpha }$
Dici cosi?
Uguale o circa?
$ lim_{n->infty} 1/2 n^{2alpha }$
Dici cosi?
Non uguale o circa, ma asintotico: due serie con argomenti asintotici hanno lo stesso andamento per il criterio del confronto asintotico.
Ciao angelok90,
Fra un cambio di pannolino ed un carico di lavastoviglie, guardo questo post e mi viene da pensare che "voi giovani" spesso andate a cercare delle difficoltà dove non ce ne sono...
Partiamo dall'inizio:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha)$
con $\alpha < 0$. Si può scrivere:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^{2\alpha}-1+\cos n^\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{2\alpha} - \sum_{n=1}^{+\infty} (1 - \cos n^\alpha)$
La prima serie l'hai già analizzata per cui non mi dilungo; la seconda ha lo stesso comportamento (attenzione: stesso comportamento non significa uguale...) di $n^{2\alpha}$ osservando semplicemente che si ha:
$lim_{n \to +\infty} frac{1 - \cos n^\alpha}{(n^\alpha)^2} = lim_{n \to +\infty} frac{1 - \cos n^\alpha}{n^{2\alpha}} =frac{1}{2}$
se $\alpha < 0$. Che è la stessa serie che hai appena analizzato. Fine dell'esercizio.
Fra un cambio di pannolino ed un carico di lavastoviglie, guardo questo post e mi viene da pensare che "voi giovani" spesso andate a cercare delle difficoltà dove non ce ne sono...
Partiamo dall'inizio:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha)$
con $\alpha < 0$. Si può scrivere:
$\sum_{n=1}^{+\infty}(n^{2\alpha}-1+\cos n^\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{2\alpha} - \sum_{n=1}^{+\infty} (1 - \cos n^\alpha)$
La prima serie l'hai già analizzata per cui non mi dilungo; la seconda ha lo stesso comportamento (attenzione: stesso comportamento non significa uguale...) di $n^{2\alpha}$ osservando semplicemente che si ha:
$lim_{n \to +\infty} frac{1 - \cos n^\alpha}{(n^\alpha)^2} = lim_{n \to +\infty} frac{1 - \cos n^\alpha}{n^{2\alpha}} =frac{1}{2}$
se $\alpha < 0$. Che è la stessa serie che hai appena analizzato. Fine dell'esercizio.
Ciao pilloeffe,
mi sono perso proprio qui.
La prima sappiamo che:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}}= \begin{cases} \text{converge => -2}\alpha>1,\alpha>-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}<\alpha<0 \\ \text{diverge=> -2}\alpha\leq1,\alpha\leq-\frac{1}{2} \end{cases} \)
La seconda mi sono perso.
mi sono perso proprio qui.
"pilloeffe":
la seconda ha lo stesso comportamento (attenzione: stesso comportamento non significa uguale...) di $ n^{2\alpha} $ osservando semplicemente che si ha:
$ lim_{n \to +\infty} frac{1 - \cos n^\alpha}{(n^\alpha)^2} = lim_{n \to +\infty} frac{1 - \cos n^\alpha}{n^{2\alpha}} =frac{1}{2} $
se $ \alpha < 0 $. Che è la stessa serie che hai appena analizzato. Fine dell'esercizio.
La prima sappiamo che:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}=\sum_{n=1}^{+\infty } \frac{1}{n^{-2\alpha}}= \begin{cases} \text{converge => -2}\alpha>1,\alpha>-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}<\alpha<0 \\ \text{diverge=> -2}\alpha\leq1,\alpha\leq-\frac{1}{2} \end{cases} \)
La seconda mi sono perso.
Mi asterrei sempre dallo spezzare una serie 
: dal punto di vista formale, spezzandola, non sei sicuro di prendere tutti gli $alpha$
: dal punto di vista formale, spezzandola, non sei sicuro di prendere tutti gli $alpha$
Ciao angelok90,
Come ti ho mostrato, la seconda serie ha lo stesso comportamento della prima $\sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}$ che è quella che hai già studiato... In definitiva la serie che hai proposto
$\sum_{n=1}^{+\infty }(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha)$
ove $\alpha < 0$ converge per $\alpha < - frac{1}{2}$ (occhio che hai commesso 2 errori nelle 2 disequazioni che compaiono nello studio della prima serie... )
Come ti ho mostrato, la seconda serie ha lo stesso comportamento della prima $\sum_{n=1}^{+\infty }n^{2\alpha}$ che è quella che hai già studiato... In definitiva la serie che hai proposto
$\sum_{n=1}^{+\infty }(n^{2\alpha}-1+cos n^\alpha)$
ove $\alpha < 0$ converge per $\alpha < - frac{1}{2}$ (occhio che hai commesso 2 errori nelle 2 disequazioni che compaiono nello studio della prima serie...
)
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