Derivabilità funzione in due variabili

[gianmarcomasci]

Salve, se trattiamo funzioni in due variabili,potrebbe succedere che il dominio della derivata di una funzione comprenda un numero di punti maggiori rispetto al dominio della funzione stessa? Inoltre se la funzione è derivabile parzialmente in un punto, potrebbe essere che la funzione non sia continua in quel punto giusto? Ultima cosa:come si tratta la derivabilità parziale in insieme aperti? o meglio i punti sulla frontiera del dominio non vanno considerati a priori? Grazie.

[LLG GKV]

i) Ogni funzione ammette derivata su un sott'insieme del suo dominio, che al più coincide con il dominio stesso
ii) Se una funzione è derivabile parzialmente in un punto al variare di ogni sua coordinata allora essa ammette derivata direzionale in ogni direzione del suo dominio, dunque esiste ed è finito il limite $ lim_(h -> 0) (f(P+hv)-f(P))/(h||v||)=partial _vf(P) $ per ogni direzione $ v $ (esso è un versore), dunque la derivabilità parziale è qui equivalente alla derivabilità ordinaria su una sezione della superficie eseguita con un piano che contiene $ v $, quindi la funzione deve essere continua su questo piano, per ogni piano passante per $ P $, dunque la funzione è sicuramente continua in $ P $ se vi può essere derivata parzialmente.
iii) Non ho compreso la terza domanda.

[gianmarcomasci]

"LLG GKV":i) Ogni funzione ammette derivata su un sott'insieme del suo dominio, che al più coincide con il dominio stesso
ii) Se una funzione è derivabile parzialmente in un punto al variare di ogni sua coordinata allora essa ammette derivata direzionale in ogni direzione del suo dominio, dunque esiste ed è finito il limite $ lim_(h -> 0) (f(P+hv)-f(P))/(h||v||)=partial _vf(P) $ per ogni direzione $ v $ (esso è un versore), dunque la derivabilità parziale è qui equivalente alla derivabilità ordinaria su una sezione della superficie eseguita con un piano che contiene $ v $, quindi la funzione deve essere continua su questo piano, per ogni piano passante per $ P $, dunque la funzione è sicuramente continua in $ P $ se vi può essere derivata parzialmente.
iii) Non ho compreso la terza domanda.

allora scusami un attimo: "La derivabilità parziale NON implica la continuità". Questa affermazione è giusta o no?

[LLG GKV]

no, non è giusta

[gianmarcomasci]

"LLG GKV":no, non è giusta

No perchè la mia professoressa di analisi ha scritta questa frase grossa come mezza lavagna.Bene a tratti benissimo.

[gugo82]

"LLG GKV":no, non è giusta

Errore da bocciatura.

La derivabilità parziale in un punto NON implica affatto la continuità nello stesso punto.
Ad esempio, la funzione $f:RR^2->RR$ definita ponendo:
\[
f(x,y):=\begin{cases} 1 &\text{, se } x=0 \text{ oppure } y=0\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
ha derivate parziali prime nulle in \((0,0)\) è però non è affatto continua in tale punto.

Inoltre, ancora peggio, anche l'esistenza di tutte le derivate direzionali in un punto NON implica la continuità in tale punto.
Per esibire un controesempio, la funzione $g:RR^2->RR$ definita ponendo:
\[
g(x,y):= \begin{cases}
\frac{x^2 y}{x^4+y^2} &\text{ , se } (x,y)\neq (0,0)\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è derivabile in \((0,0)\) lungo ogni direzione \(\nu =(\cos \alpha , \sin \alpha)\), con derivata:
\[
\frac{\partial g}{\partial \nu}(0,0)= \begin{cases}
\cot \alpha &\text{, se } \sin \alpha \neq 0\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}\; ,
\]
e peró non è affatto continua in tale punto, perché:
\[
\lim_{x\to 0} g(x, x^2) = \frac{1}{2}\neq g(0,0)\; .
\]

[gugo82]

"_gymmy":[quote="LLG GKV"]no, non è giusta

No perchè la mia professoressa di analisi ha scritta questa frase grossa come mezza lavagna.Bene a tratti benissimo.[/quote]
Impara a scegliere di chi fidarti. : wink: